f(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 1
determine o número k solução da equação
k f(0) = 2 f'(0) - f''(0) + f'''(1) - 3 k f^(4)(2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o valor de na equação dada. Primeiro, temos a função:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas de diferentes ordens e a avaliação de funções nessas derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e depois substituir os valores indicados na equação para encontrar .

Passo 2

Vamos começar calculando , que é simplesmente a função avaliada em :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de para calcular :
Calculando cada termo:
Agora, avaliamos em :

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada para calcular :
Avaliando em :

Passo 5

Agora, vamos calcular a terceira derivada para avaliar em :
Avaliando em :

Passo 6

Por fim, precisamos da quarta derivada para avaliar em :
Então, independentemente do valor de , temos:

Passo 7

Agora que temos todos os valores necessários, substituímos na equação original:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 8

Vamos isolar na equação:

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

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