a. f(x) = 3x^5 + x^3 + 2, [-1, 0].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função e o intervalo . O que a gente precisa fazer é descobrir quais são os valores máximos e mínimos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os valores máximos e mínimos de uma função em um intervalo fechado, a gente precisa verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, ou seja, os pontos críticos.
A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar a expressão:
Isso nos dá duas soluções:
  1. ⇒ Não há solução real, pois é sempre não negativo e nunca será zero.
Portanto, o único ponto crítico no intervalo é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Os pontos que vamos considerar são:
  • (extremidade esquerda)
  • (ponto crítico e extremidade direita)
Vamos calcular e :

Passo 6

Comparando os valores calculados:
Então, no intervalo :
  • O valor mínimo é em .
  • O valor máximo é em .

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor mínimo de em e seu valor máximo de em .

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