Se f(x)= ax mostre que f(x)+f(1-x)=f(1) para todo x real. Mostre também que x1 x2 quaisquer que sejam os números reais e .

Passo 1

Temos a função f(x)=a,x, que é uma função linear. O conteúdo aqui é estudar propriedades de aditividade e homogeneidade de funções lineares. Vamos mostrar duas identidades:
  1. f(x)+f(1-x)=f(1) para todo x.
  2. fl((x1+x2)/2r)=l(f(x1)+f(x2)r)/2 para quaisquer reais x1, x2.

Passo 2

Para mostrar f(x)+f(1-x)=f(1), calculamos diretamente:
f(x)+f(1-x)=a,x + a(1-x)=a,(x + 1 - x)=a
Por outro lado,
f(1)=acdot1=a
Como os dois resultados são iguais a a, concluímos que f(x)+f(1-x)=f(1).

Passo 3

Para provar fl((x1+x2)/2r)=l(f(x1)+f(x2)r)/2, calculamos:
fl(x1+x22r)=a,x1+x22=a,x1 + a,x22
Como a,x1=f(x1) e a,x2=f(x2), isso fica
fl(x1+x22r)=f(x1)+f(x2)2,
que é justamente o que queríamos mostrar.

Resposta

As duas identidades válidas para f(x)=a,x são:
f(x)+f(1-x)=f(1) e fl((x1+x2)/2r)=f(x1)+f(x2)2

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