O enunciado fornece a função de distribuição acumulada (CDF) F\) da variável aleatória \(X\), dada por
\[F(x)= \begin{cases}0 & x<1 \\[4pt] 0,5 & 1 \leq x<3 \\[4pt] 1 & 3 \leq x\end{cases}
A pergunta é: calcular (P(X>2)]. Vou listar as informações relevantes que temos do enunciado: \text{Dado: }F(x)=P(X\le x)\text{ é a CDF definida acima.}é
\text{Pedido: }P(X>2).]
Passo 2
Entendendo o que é uma CDF e como usá-la (aulas rápidas e práticas):
A função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=P(X\le x).
Isto significa que, para qualquer valor específico a, conhecendo F(a) sabemos a probabilidade de X ser menor ou igual a a. Uma relação útil, válida para qualquer variável aleatória (discreta, contínua ou mista), é que os dois eventos \{X\le a\} e \{X>a\} são complementares e, portanto,
P(X> a)=1-P(X\le a)=1-F(a).
Vou aplicar exatamente essa relação com a=2.
Passo 3
Aplicando a relação complementar para o caso pedido:
P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-F(2).
Agora precisamos encontrar explicitamente F(2) a partir da definição em partes que o enunciado deu.
Passo 4
Avaliar F(2) olhando a definição por intervalos:
O valor x=2 pertence ao intervalo 1\le x<3. A partir da peça correspondente da CDF (pegamos isso diretamente da expressão dada no enunciado), temos
F(2)=0,5.
Expliquei: peguei esse valor da definição por partes fornecida no enunciado, que diz F(x)=0,5 quando 1\le x<3.
Passo 5
Calcular P(X>2) substituindo F(2) na fórmula da Passo 3:
P(X>2)=1-F(2)=1-0,5=0,5.
Então, pelo cálculo direto usando a CDF, obtemos P(X>2)=0,5.
Passo 6
Interpretação alternativa (muito útil para entender o que a CDF está dizendo): a CDF tem saltos em x=1 e x=3. O salto em x=1 é de 0 para 0,5, logo há probabilidade 0,5 em X=1. O salto em x=3 é de 0,5 para 1, logo há probabilidade 0,5 em X=3. Portanto X é uma variável discreta com
P(X=1)=0,5,\qquad P(X=3)=0,5.
Nessa visão discreta, é óbvio também que
P(X>2)=P(X=3)=0,5,
confirmando o resultado anterior. Isso ajuda a memorizar: quando a CDF tem degraus, esses degraus são as probabilidades pontuais.