The distributor of a machine for cytogenics has developed a new model. The company estimates that when it is introduced into the market, it will be very successful with a probability 0.6 , moderately successful with a probability 0.3 , and not successful with probability 0.1 . The estimated yearly profit associated with the model being very successful is \ 15 million and with it being moderately successful is$5 million; not successful would result in a loss of$ 500,000 . LetX be the yearly profit of the new model. Determine the probability mass function ofX$.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a função massa de probabilidade (pmf) da variável aleatória X, onde X é o lucro anual do novo modelo. Informações fornecidas pelo enunciado (coloquei todos os números em TeX):
\begin{aligned} &P(\text{muito bem‑sucedido})=0{,}6,\\\ &P(\text{moderadamente bem‑sucedido})=0{,}3,\\\ &P(\text{não bem‑sucedido})=0{,}1. \end{aligned}ã
Os lucros estimados associados são:
\begin{aligned} &\text{muito bem‑sucedido: } \$15\\ \text{milhões},\\\ &\text{moderadamente bem‑sucedido: } \$5\\ \text{milhões},\\\ &\text{não bem‑sucedido: perda de } \$0{,}5\\ \text{milhões}. \end{aligned}õõãõ
Para simplificar os números e ficar mais claro na prova, vou medir X em milhões de dólares (isto é, X tem unidade “milhões de dólares”). Assim os possíveis valores de X são:
15,\quad 5,\quad -0{,}5.
A pergunta concreta: escrever a pmf p_X(x)=P(X=x) para esses valores (e indicar que vale zero para todo outro x).

Passo 2

O que é a pmf e como a construímos (mini‑aula): para uma variável aleatória discreta X, a função massa de probabilidade é a função
p_X(x)=P(X=x),
ou seja, para cada valor possível x de X a pmf dá a probabilidade de X assumir exatamente x. Algumas propriedades importantes:
p_X(x)\ge 0\\ \text{ para todo }x,\qquad \sum_{x} p_X(x)=1.
No nosso caso X só pode assumir três valores distintos, então precisamos só atribuir a cada um desses valores a probabilidade correspondente.

Passo 3

Mapeamento dos eventos do enunciado para valores numéricos de X (expliquei por que escolhi esses números):
  • O evento “muito bem‑sucedido” corresponde a X=15 (ou seja, lucro de \$15 milhões). Pelo enunciado, essa situação tem probabilidade 0{,}6. Logo
P(X=15)=0{,}6.
  • O evento “moderadamente bem‑sucedido” corresponde a X=5 (lucro de \$5 milhões) com probabilidade 0{,}3. Logo
P(X=5)=0{,}3.
  • O evento “não bem‑sucedido” corresponde a X=-0{,}5 (perda de \$0{,}5 milhão) com probabilidade 0{,}1. Logo
P(X=-0{,}5)=0{,}1.

Passo 4

Verificação rápida da propriedade de soma das probabilidades (mini‑check para garantir que nosso pmf faça sentido):
0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}1 = 1.
Tudo certo — as probabilidades somam 1 como deve ser.

Passo 5

Escrevendo a pmf completa de forma organizada (mostrando também que para qualquer outro x\) a probabilidade é zero): \[p_X(x)=P(X=x)= \begin{cases} 0{,}6, & x=15,\\[4pt] 0{,}3, & x=5,\\[4pt] 0{,}1, & x=-0{,}5,\\[4pt] 0, & \text{outro \(x.} \end{cases}]
Aqui x está em milhões de dólares.]

Resposta

p_X(x)= \begin{cases} 0{,}6, & x=15,\\[4pt] 0{,}3, & x=5,\\[4pt] 0{,}1, & x=-0{,}5,\\[4pt] 0, & \text{outro \(x\).} \end{cases}]

Exercícios relacionados