The distributor of a machine for cytogenics has developed a new model. The company estimates that when it is introduced into the market, it will be very successful with a probability 0.6 , moderately successful with a probability 0.3 , and not successful with probability 0.1 . The estimated yearly profit associated with the model being very successful is
15
$5
$ 500,000
X
X$.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a função massa de probabilidade (pmf) da variável aleatória
, onde
é o lucro anual do novo modelo. Informações fornecidas pelo enunciado (coloquei todos os números em TeX):
Os lucros estimados associados são:
Para simplificar os números e ficar mais claro na prova, vou medir
em milhões de dólares (isto é,
tem unidade “milhões de dólares”). Assim os possíveis valores de
são:
A pergunta concreta: escrever a pmf
para esses valores (e indicar que vale zero para todo outro
).
Passo 2
O que é a pmf e como a construímos (mini‑aula): para uma variável aleatória discreta
, a função massa de probabilidade é a função
ou seja, para cada valor possível
de
a pmf dá a probabilidade de
assumir exatamente
. Algumas propriedades importantes:
No nosso caso
só pode assumir três valores distintos, então precisamos só atribuir a cada um desses valores a probabilidade correspondente.
Passo 3
Mapeamento dos eventos do enunciado para valores numéricos de
(expliquei por que escolhi esses números):
- O evento “muito bem‑sucedido” corresponde a
(ou seja, lucro de milhões). Pelo enunciado, essa situação tem probabilidade . Logo
- O evento “moderadamente bem‑sucedido” corresponde a
(lucro de milhões) com probabilidade . Logo
- O evento “não bem‑sucedido” corresponde a
(perda de milhão) com probabilidade . Logo
Passo 4
Verificação rápida da propriedade de soma das probabilidades (mini‑check para garantir que nosso pmf faça sentido):
Tudo certo — as probabilidades somam
como deve ser.
Passo 5
Escrevendo a pmf completa de forma organizada (mostrando também que para qualquer outro
.} \end{cases}]
Aqui
está em milhões de dólares.]