Um estudo foi realizado sobre a resistência ao puxamento (Y) de um fio, em função do comprimento do fio (X). Os resultados obtidos foram os seguintes:
X Y
2,0 538,0
4,0 541,0
6,0 540,0
8,0 543,0
10,0 545,0
12,0 548,0
a) Faça um diagrama de dispersão para os dados;
b) Estime o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete;
c) Teste as seguintes hipóteses:
\left\{\begin{array}{l} H_{0}: \rho=0 ; \\\ H_{a}: \rho \neq 0 . \end{array}\right.
Use \alpha=5 \%.
d) Estime a equação de regressão linear simples que se ajusta aos dados;
e) Trace a equação estimada no diagrama de dispersão;
f) Calcule o coeficiente de determinação e interprete.

Passo 1

O enunciado traz uma tabela com pares [(X,Y)) e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi solicitado e os dados fornecidos.
Perguntas pedidas:
a) Fazer um diagrama de dispersão dos dados.
b) Estimar o coeficiente de correlação linear de Pearson e interpretar.
c) Testar as hipóteses
\begin{cases} H_{0}: \rho=0,\\[4pt] H_{a}: \rho\neq 0, \end{cases}
com (\alpha=5%].
d) Estimar a equação da regressão linear simples que ajusta os dados.
e) Traçar a equação estimada no diagrama de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de determinação e interpretar.
Dados fornecidos (tirei da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} X & Y\\hline 2,0 & 538,0\\\\ 4,0 & 541,0\\\\ 6,0 & 540,0\\\\ 8,0 & 543,0\\\\ 10,0 & 545,0\\\\ 12,0 & 548,0 \end{array}
Número de observações: n=6.
Nível de significância: \alpha=0,05.]

Passo 2

Como fazer o diagrama de dispersão (passo a passo prático para você desenhar na prova ou no papel):
  • No eixo horizontal coloque X (comprimento do fio) e no eixo vertical coloque Y (resistência).
  • Marque os pontos com as coordenadas dadas: (2,0;\,538,0), (4,0;\,541,0), (6,0;\,540,0), (8,0;\,543,0), (10,0;\,545,0), (12,0;\,548,0).
  • Conecte nada — apenas marque os pontos. Observe visualmente que os pontos formam uma nuvem com tendência crescente (quando X aumenta, Y tende a aumentar).
Se fosse desenhar no intervalo dos X de 2,0 a 12,0 e Y de aproximadamente 537 a 549, você veria os seis pontos subindo quase em linha reta. Isso já dá uma intuição de correlação positiva forte.

Passo 3

Calcular as médias (primeiro bloco de cálculos; explicando a fórmula):
A média amostral de X é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
A média amostral de Y é
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i.
Agora os cálculos (pegando os dados da tabela):
\bar{X}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=\frac{42}{6}=7,0.
\bar{Y}=\frac{538+541+540+543+545+548}{6}=\frac{3255}{6}=542,5.
Explicação curta: \bar{X} é o centro dos valores de X e \bar{Y} é o centro dos valores de Y; usamos essas médias para medir desvios em torno do centro.

Passo 4

Calcular somatórios necessários para correlação e regressão (vou mostrar como obter S_{xx}, S_{yy} e S_{xy}, que são as somas dos produtos dos desvios):
Definições usadas:
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2, \qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})^2, \qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}).
Calculemos as diferenças e produtos (peguei os X e Y da tabela):
\begin{array}{cccc} X_i & X_i-\bar{X} & Y_i-\bar{Y} & (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\\hline 2,0 & -5,0 & -4,5 & 22,5\\\\ 4,0 & -3,0 & -1,5 & 4,5\\\\ 6,0 & -1,0 & -2,5 & 2,5\\\\ 8,0 & 1,0 & 0,5 & 0,5\\\\ 10,0 & 3,0 & 2,5 & 7,5\\\\ 12,0 & 5,0 & 5,5 & 27,5 \end{array}
Agora as somas:
S_{xy}=\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=22,5+4,5+2,5+0,5+7,5+27,5=65,0.
S_{xx}=\sum (X_i-\bar{X})^2=25+9+1+1+9+25=70,0.
S_{yy}=\sum (Y_i-\bar{Y})^2=20,25+2,25+6,25+0,25+6,25+30,25=65,5.
Comentário didático: S_{xx} mede a variabilidade de X, S_{yy} mede a variabilidade de Y, e S_{xy} mede quão conjuntamente X e Y variam (a covariância amostral não normalizada é S_{xy}).

Passo 5

Estimativa do coeficiente de correlação de Pearson r (fórmula e cálculo):
Fórmula do coeficiente de correlação amostral:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Substituindo os valores que calculamos:
r=\frac{65,0}{\sqrt{70,0\cdot 65,5}}=\frac{65,0}{\sqrt{4585,0}}\approx 0,960.
Interpretação (didática e simples): r varia entre -1 e 1. Aqui r\approx 0,960 é próximo de 1, o que indica uma correlação linear positiva muito forte: quando X aumenta, Y tende a aumentar de forma quase linear.

Passo 6

Teste de hipótese para correlação (procedimento, cálculo e conclusão):
Hipóteses (já dadas, repito para organizar):
\begin{cases} H_{0}: \rho=0,\\[4pt] H_{a}: \rho\neq 0. \end{cases}
Teste usado: teste t para correlação, com estatística
t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}
que sob H_{0} segue t de Student com n-2 graus de liberdade.
Substituindo r\approx 0,9595 (valor usado antes arredondado) e n=6:
r^{2}\approx 0,9206,\qquad 1-r^{2}\approx 0,0794,\qquad n-2=4.
t\approx \frac{0,9595\sqrt{4}}{\sqrt{0,0794}}=\frac{0,9595\cdot 2}{\sqrt{0,0794}}\approx 6,81.
Graus de liberdade: df=n-2=4. Valor crítico bilateral com \alpha=0,05 e df=4 é
t_{crit}=t_{0,975;4}\approx 2,776.
Decisão: como |t|\approx 6,81>2,776, rejeitamos H_{0}. Conclusão: há evidência estatística significante (ao nível de 5\%) de que a correlação populacional \rho é diferente de zero — portanto existe correlação linear significativa entre X e Y.
Observação sobre p-valor: o p-valor bilateral é muito pequeno (bem menor que 0,05), confirmando a rejeição.]

Passo 7

Estimativa da equação da regressão linear simples (fórmulas, cálculo e interpretação):
Modelo linear simples:
Y=\beta_0+\beta_1 X+\varepsilon,
onde \beta_1 é a inclinação (quanto se espera que Y mude quando X aumenta 1 unidade) e \beta_0 é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0).
Estimadores de mínimos quadrados:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.
Cálculo:
\hat{\beta}_1=\frac{65,0}{70,0}=\frac{13}{14}\approx 0,928571.
\hat{\beta}_0=542,5-(0,928571)\cdot 7,0=542,5-6,5=536,0.
Logo a equação estimada é
\widehat{Y}=536,0+0,928571\,X.
Interpretação prática: para cada aumento de 1,0 no comprimento X, a resistência Y aumenta, em média, cerca de 0,9286 unidades.

Passo 8

Como traçar a reta estimada no diagrama de dispersão (instrução prática para prova/papel):
A reta \widehat{Y}=536,0+0,928571X pode ser desenhada usando dois pontos fáceis, por exemplo para X=2,0 e X=12,0:
  • Para X=2,0:
\widehat{Y}=536,0+0,928571\cdot 2,0=536,0+1,857142\approx 537,857.
  • Para X=12,0:
\widehat{Y}=536,0+0,928571\cdot 12,0=536,0+11,142852\approx 547,143.
Marque os pontos (2,0;\,537,857) e (12,0;\,547,143) no gráfico e trace a reta que passa por eles — essa é a reta de regressão.

Passo 9

Cálculo do coeficiente de determinação R^2 e interpretação:
Definição simples:
R^{2}=r^{2}.
Usando r\approx 0,9595,
R^{2}\approx (0,9595)^{2}\approx 0,9206\approx 92,06\%.
Interpretação: aproximadamente 92{,}1\% da variabilidade total observada em Y pode ser explicada por uma relação linear com X usando o modelo de regressão simples. Em outras palavras, a reta ajustada captura a maior parte da informação linear entre X e Y; sobra cerca de 7{,}94\% da variabilidade de Y não explicada pelo X (resíduos, ruído, outros fatores).

Resposta

a) Diagrama de dispersão: plotar os pontos (2,0;538,0), (4,0;541,0), (6,0;540,0), (8,0;543,0), (10,0;545,0), (12,0;548,0) — nuvem com tendência positiva.\n
b) Coeficiente de correlação de Pearson: r\approx 0,960 (correlação linear positiva muito forte).\n
c) Teste de hipótese: estatística t\approx 6,81 com df=4; t_{crit}\approx 2,776. Como |t|>t_{crit}, rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05. Conclusão: correlação significativamente diferente de zero.\n
d) Equação da regressão estimada: \widehat{Y}=536,0+0,928571\,X.\n
e) Traçar a equação no diagrama: linha passando por, por exemplo, (2,0;\,537,857) e (12,0;\,547,143) — trace a reta entre esses pontos.\n
f) Coeficiente de determinação: R^{2}\approx 0,9206 (ou 92,06\%). Interpretação: aproximadamente 92{,}06\% da variação de Y é explicada pela variação linear em X.

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