Um estudo foi realizado sobre a resistência ao puxamento (Y) de um fio, em função do comprimento do fio (X). Os resultados obtidos foram os seguintes:
X
Y
2,0
538,0
4,0
541,0
6,0
540,0
8,0
543,0
10,0
545,0
12,0
548,0
a) Faça um diagrama de dispersão para os dados;
b) Estime o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete;
c) Teste as seguintes hipóteses:
Use
.
d) Estime a equação de regressão linear simples que se ajusta aos dados;
e) Trace a equação estimada no diagrama de dispersão;
f) Calcule o coeficiente de determinação e interprete.
| X | Y |
| 2,0 | 538,0 |
| 4,0 | 541,0 |
| 6,0 | 540,0 |
| 8,0 | 543,0 |
| 10,0 | 545,0 |
| 12,0 | 548,0 |
b) Estime o coeficiente de correlação linear de Pearson e interprete;
c) Teste as seguintes hipóteses:
d) Estime a equação de regressão linear simples que se ajusta aos dados;
e) Trace a equação estimada no diagrama de dispersão;
f) Calcule o coeficiente de determinação e interprete.
Passo 1
O enunciado traz uma tabela com pares [(X,Y)) e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi solicitado e os dados fornecidos.
Perguntas pedidas:
a) Fazer um diagrama de dispersão dos dados.
b) Estimar o coeficiente de correlação linear de Pearson e interpretar.
c) Testar as hipóteses
a) Fazer um diagrama de dispersão dos dados.
b) Estimar o coeficiente de correlação linear de Pearson e interpretar.
c) Testar as hipóteses
com (\alpha=5%].
d) Estimar a equação da regressão linear simples que ajusta os dados.
e) Traçar a equação estimada no diagrama de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de determinação e interpretar.
d) Estimar a equação da regressão linear simples que ajusta os dados.
e) Traçar a equação estimada no diagrama de dispersão.
f) Calcular o coeficiente de determinação e interpretar.
Dados fornecidos (tirei da tabela do enunciado):
Número de observações:
.
Nível de significância: .]
Nível de significância:
Passo 2
Como fazer o diagrama de dispersão (passo a passo prático para você desenhar na prova ou no papel):
- No eixo horizontal coloque
(comprimento do fio) e no eixo vertical coloque (resistência). - Marque os pontos com as coordenadas dadas:
, , , , , . - Conecte nada — apenas marque os pontos. Observe visualmente que os pontos formam uma nuvem com tendência crescente (quando
aumenta, tende a aumentar).
Se fosse desenhar no intervalo dos
de
a
e
de aproximadamente
a
, você veria os seis pontos subindo quase em linha reta. Isso já dá uma intuição de correlação positiva forte.
Passo 3
Calcular as médias (primeiro bloco de cálculos; explicando a fórmula):
A média amostral de é
A média amostral de
A média amostral de
é
Agora os cálculos (pegando os dados da tabela):
Explicação curta:
é o centro dos valores de
e
é o centro dos valores de
; usamos essas médias para medir desvios em torno do centro.
Passo 4
Calcular somatórios necessários para correlação e regressão (vou mostrar como obter
,
e
, que são as somas dos produtos dos desvios):
Definições usadas:
Calculemos as diferenças e produtos (peguei os
e
da tabela):
Agora as somas:
Comentário didático:
mede a variabilidade de
,
mede a variabilidade de
, e
mede quão conjuntamente
e
variam (a covariância amostral não normalizada é
).
Passo 5
Estimativa do coeficiente de correlação de Pearson
(fórmula e cálculo):
Fórmula do coeficiente de correlação amostral:
Fórmula do coeficiente de correlação amostral:
Substituindo os valores que calculamos:
Interpretação (didática e simples):
varia entre
e
. Aqui
é próximo de
, o que indica uma correlação linear positiva muito forte: quando
aumenta,
tende a aumentar de forma quase linear.
Passo 6
Teste de hipótese para correlação (procedimento, cálculo e conclusão):
Hipóteses (já dadas, repito para organizar):
Teste usado: teste t para correlação, com estatística
que sob
segue
de Student com
graus de liberdade.
Substituindo
(valor usado antes arredondado) e
:
Graus de liberdade:
. Valor crítico bilateral com
e
é
Decisão: como
, rejeitamos
. Conclusão: há evidência estatística significante (ao nível de
) de que a correlação populacional
é diferente de zero — portanto existe correlação linear significativa entre
e
.
Observação sobre p-valor: o p-valor bilateral é muito pequeno (bem menor que
), confirmando a rejeição.]
Passo 7
Estimativa da equação da regressão linear simples (fórmulas, cálculo e interpretação):
Modelo linear simples:
onde
é a inclinação (quanto se espera que
mude quando
aumenta 1 unidade) e
é o intercepto (valor previsto de
quando
).
Estimadores de mínimos quadrados:
Cálculo:
Logo a equação estimada é
Interpretação prática: para cada aumento de
no comprimento
, a resistência
aumenta, em média, cerca de
unidades.
Passo 8
Como traçar a reta estimada no diagrama de dispersão (instrução prática para prova/papel):
A reta
pode ser desenhada usando dois pontos fáceis, por exemplo para
e
:
- Para
:
- Para
:
Marque os pontos
e
no gráfico e trace a reta que passa por eles — essa é a reta de regressão.
Passo 9
Cálculo do coeficiente de determinação
e interpretação:
Definição simples:
Usando
,
Interpretação: aproximadamente
da variabilidade total observada em
pode ser explicada por uma relação linear com
usando o modelo de regressão simples. Em outras palavras, a reta ajustada captura a maior parte da informação linear entre
e
; sobra cerca de
da variabilidade de
não explicada pelo
(resíduos, ruído, outros fatores).
Resposta
a) Diagrama de dispersão: plotar os pontos
— nuvem com tendência positiva.\n
b) Coeficiente de correlação de Pearson: (correlação linear positiva muito forte).\n
c) Teste de hipótese: estatística com
;
. Como
, rejeitamos
ao nível
. Conclusão: correlação significativamente diferente de zero.\n
d) Equação da regressão estimada: .\n
e) Traçar a equação no diagrama: linha passando por, por exemplo, e
— trace a reta entre esses pontos.\n
f) Coeficiente de determinação: (ou
). Interpretação: aproximadamente
da variação de
é explicada pela variação linear em
.
b) Coeficiente de correlação de Pearson:
c) Teste de hipótese: estatística
d) Equação da regressão estimada:
e) Traçar a equação no diagrama: linha passando por, por exemplo,
f) Coeficiente de determinação: