Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
a) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-x} \quad a=-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-x}
e o ponto \,a=-1\,.
As perguntas são:
a) calcular \lim_{x\to a^{+}} f(x);
b) calcular \lim_{x\to a^{-}} f(x);
c) calcular \lim_{x\to a} f(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita de f(x) (uma razão de polinômios).
  • O ponto onde se pede o limite é \,a=-1.

Passo 2

Verificar se f está definida em x=a (isso ajuda muito): para isso calculo o denominador em x=a. O denominador é \,x^{2}-x\,, então em x=-1
(-1)^{2}-(-1)=1+1=2.
Como o denominador é diferente de zero em \,x=-1, a função f está definida em x=-1. Vou calcular o valor f(-1).

Passo 3

Calcular f(-1). Substituo x=-1 em f(x):
f(-1)=\frac{2(-1)^{2}}{(-1)^{2}-(-1)}=\frac{2\cdot 1}{1+1}=\frac{2}{2}=1.
Portanto \,f(-1)=1.

Passo 4

Explicação didática sobre limites de funções racionais: uma função racional (razão de polinômios) é contínua em qualquer ponto em que o denominador seja não nulo. Continuidade em um ponto a significa, por definição, que
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Além disso, se a função é contínua em a, as duas limites laterais também existem e são iguais ao mesmo valor:
\lim_{x\to a^{+}} f(x)=\lim_{x\to a^{-}} f(x)=f(a).
Aqui já verificamos que o denominador em x=-1 não é zero, logo f é contínua em \,x=-1 e posso usar essa propriedade.

Passo 5

Aplicando a continuidade e o valor encontrado em \,x=-1:
\lim_{x\to (-1)^{+}} f(x)=f(-1)=1, \qquad \lim_{x\to (-1)^{-}} f(x)=f(-1)=1, \qquad \lim_{x\to -1} f(x)=f(-1)=1.

Resposta

a) 1
b) 1
c) 1

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