No plano cartesiano, para qual(is) valor(es) de x as curvas exponenciais f_{1}(x)=e^{x} e f_{2}(x)=e^{-x} se cruzam?

Passo 1

O enunciado dá duas funções no plano cartesiano:
  • f_{1}(x)=e^{x}
  • f_{2}(x)=e^{-x}
Pede-se: para quais valores de x as duas curvas se cruzam? Ou seja, encontrar todos os x tais que os pontos das duas curvas têm a mesma ordenada, isto é resolver a igualdade
e^{x}=e^{-x}.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades importantes da função exponencial x\mapsto e^{x} que vamos usar (explicadinhas de forma simples):
  • A função e^{x} é estritamente crescente: se a>b então e^{a}>e^{b}. Por isso ela é injectiva, ou seja, se e^{a}=e^{b} então necessariamente a=b.
  • A equação e^{y}=1 tem solução única y=0, porque e^{0}=1 e, por injetividade, nenhum outro y produz 1.
Essas propriedades são fáceis de aceitar: a exponencial com base e>1 cresce quando x aumenta (por exemplo e^{1}\approx2{,}718 e e^{2}\approx7{,}389).

Passo 3

Usando a injetividade da exponencial, da igualdade
e^{x}=e^{-x}
segue que os expoentes são iguais:
x=-x.
Isso é porque se e^{A}=e^{B} então A=B.

Passo 4

Resolver x=-x. Somando x dos dois lados:
x+x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 5

Como verificação alternativa (mesma ideia, só manipulada de outra forma): multiplicando ambos os lados de e^{x}=e^{-x} por e^{x} obtemos
e^{2x}=1.
Pelo fato de que e^{y}=1 implica y=0, vem 2x=0 e então x=0. Mesma solução, confirmado.

Passo 6

Encontramos que há apenas um ponto de interseção em termos de x. Se quisermos o ponto completo no plano, calculamos a ordenada correspondente:
y=e^{0}=1,
logo o ponto de interseção é (0,1).

Resposta

x=0

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