No plano cartesiano, para qual(is) valor(es) de
as curvas exponenciais
e
se cruzam?
Passo 1
O enunciado dá duas funções no plano cartesiano:
Pede-se: para quais valores de
as duas curvas se cruzam? Ou seja, encontrar todos os
tais que os pontos das duas curvas têm a mesma ordenada, isto é resolver a igualdade
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades importantes da função exponencial
que vamos usar (explicadinhas de forma simples):
- A função
é estritamente crescente: se então . Por isso ela é injectiva, ou seja, se então necessariamente . - A equação
tem solução única , porque e, por injetividade, nenhum outro produz 1.
Essas propriedades são fáceis de aceitar: a exponencial com base
cresce quando
aumenta (por exemplo
e
).
Passo 3
Usando a injetividade da exponencial, da igualdade
segue que os expoentes são iguais:
Isso é porque se
então
.
Passo 4
Resolver
. Somando
dos dois lados:
Passo 5
Como verificação alternativa (mesma ideia, só manipulada de outra forma): multiplicando ambos os lados de
por
obtemos
Pelo fato de que
implica
, vem
e então
. Mesma solução, confirmado.
Passo 6
Encontramos que há apenas um ponto de interseção em termos de
. Se quisermos o ponto completo no plano, calculamos a ordenada correspondente:
logo o ponto de interseção é
.