Para a
dada, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(não existe).
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado fornece a função e o ponto onde vamos estudar limites:
- Função:
. - Ponto:
.
O que o exercício pede:
a) calcular, isto é ;
b) calcular, isto é ;
c) calcular, isto é .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função tem no denominador
, que é zero em e em . - O ponto
é uma singularidade da função (denominador zero em ).
Passo 2
Entendendo o conceito que vamos usar (explicação didática):
- Quando uma função tem forma
e o denominador tende a enquanto o numerador tende a um número não nulo, a função tende a ou a — dizemos que diverge para infinito — dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. - Para limites laterais, devemos olhar o sinal do denominador quando nos aproximamos pela direita (
) e pela esquerda ( ). - Aqui o numerador é
(constante positiva), então o sinal de perto de será o mesmo sinal do denominador .
Passo 3
Análise do denominador e do seu sinal:
- Reescrevendo o denominador:
. - Observação importante: para todo
vale (um quadrado é sempre positivo quando não é zero). - Portanto, para
próximo de (à direita ou à esquerda), o fator que determina o sinal do denominador é apenas . - Como
, números suficientemente próximos de (tanto à direita quanto à esquerda) são positivos. Logo, para perto de mas temos e , de modo que o denominador é positivo.
Passo 4
Análise do módulo (tamanho) e conclusão sobre divergência:
- Como
quando e (valor finito não nulo), o módulo do denominador tende a por meio de um fator positivo pequeno; especificamente,
- Como já vimos o denominador é positivo perto de
, a função tende a — não muda de sinal — ao nos aproximarmos de .
Passo 5
Cálculo explícito das duas limites laterais (com exemplo numérico para intuição):
- Para
: escolha . Então e . Assim e grande; enviando para o denominador tende a e . Portanto
- Para
: escolha . Então e . Assim e grande; enviando para o denominador tende a e . Portanto
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral:
- Como ambos os limites laterais existem e são iguais a
, o limite bilateral também diverge para . Então
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)