Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
a) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\frac{1}{x(x-3)^{2}} \quad a=3

Passo 1

O enunciado fornece a função e o ponto onde vamos estudar limites:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x(x-3)^{2}}.
  • Ponto: a=3.
    O que o exercício pede:
    a) calcular \lim_{x\to a^{+}} f(x), isto é \lim_{x\to 3^{+}} f(x);
    b) calcular \lim_{x\to a^{-}} f(x), isto é \lim_{x\to 3^{-}} f(x);
    c) calcular \lim_{x\to a} f(x), isto é \lim_{x\to 3} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função tem no denominador x(x-3)^{2}, que é zero em x=0 e em x=3.
  • O ponto a=3 é uma singularidade da função (denominador zero em x=3).

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Quando uma função tem forma \dfrac{\text{constante não nula}}{\text{denominador}}ã e o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a um número não nulo, a função tende a +\infty ou a -\infty — dizemos que diverge para infinito — dependendo do sinal do denominador próximo do ponto.
  • Para limites laterais, devemos olhar o sinal do denominador quando nos aproximamos pela direita ( x\to a^{+}) e pela esquerda ( x\to a^{-}).
  • Aqui o numerador é 1>0 (constante positiva), então o sinal de f(x) perto de 3 será o mesmo sinal do denominador x(x-3)^{2}.

Passo 3

Análise do denominador e do seu sinal:
  • Reescrevendo o denominador: x(x-3)^{2}.
  • Observação importante: para todo x\neq3 vale (x-3)^{2}>0 (um quadrado é sempre positivo quando não é zero).
  • Portanto, para x próximo de 3 (à direita ou à esquerda), o fator que determina o sinal do denominador é apenas x.
  • Como a=3>0, números x suficientemente próximos de 3 (tanto à direita quanto à esquerda) são positivos. Logo, para x perto de 3 mas x\neq3 temos x>0 e (x-3)^{2}>0, de modo que o denominador x(x-3)^{2} é positivo.

Passo 4

Análise do módulo (tamanho) e conclusão sobre divergência:
  • Como (x-3)^{2}\to 0 quando x\to3 e |x|\to 3 (valor finito não nulo), o módulo do denominador tende a 0 por meio de um fator positivo pequeno; especificamente,
|f(x)|=\frac{1}{|x|(x-3)^{2}}\sim \frac{1}{3\,(x-3)^{2}}\to +\infty\quad\text{quando }x\to 3.
  • Como já vimos o denominador é positivo perto de 3, a função f(x) tende a +\infty — não muda de sinal — ao nos aproximarmos de 3.

Passo 5

Cálculo explícito das duas limites laterais (com exemplo numérico para intuição):
  • Para x\to 3^{+}: escolha x=3{,}1. Então (x-3)^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01 e x( x-3)^{2}\approx 3{,}1\cdot0{,}01=0{,}031. Assim f(3{,}1)\approx 1/0{,}031>0 e grande; enviando x para 3^{+} o denominador tende a 0^{+} e f(x)\to +\infty. Portanto
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\infty.
  • Para x\to 3^{-}: escolha x=2{,}9. Então (x-3)^{2}=(-0{,}1)^{2}=0{,}01 e x(x-3)^{2}\approx 2{,}9\cdot0{,}01=0{,}029. Assim f(2{,}9)\approx 1/0{,}029>0 e grande; enviando x para 3^{-} o denominador tende a 0^{+} e f(x)\to +\infty. Portanto
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral:
  • Como ambos os limites laterais existem e são iguais a +\infty, o limite bilateral também diverge para +\infty. Então
\lim_{x\to 3} f(x)=\infty.

Resposta

a) \infty
b) \infty
c) \infty

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