Se f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}, então quanto vale f(\sqrt[4]{7}).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede o valor de f em um ponto específico. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}.
  • O ponto onde precisamos avaliar é x=\sqrt[4]{7}.
    A pergunta é: calcular f\bigl(\sqrt[4]{7}\bigr).

Passo 2

Entender o que significa \sqrt[4]{7} em termos de potências. Por definição,
\sqrt[4]{7}=7^{1/4}.
Uma regra útil de potências é (a^{m})^{n}=a^{mn}. Vou usar essa regra para manipular \bigl(\sqrt[4]{7}\bigr)^{2}, porque na função aparece x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra (a^{m})^{n}=a^{mn} a x=7^{1/4} com m=1/4 e n=2:
\bigl(\sqrt[4]{7}\bigr)^{2}=\bigl(7^{1/4}\bigr)^{2}=7^{(1/4)\cdot 2}=7^{1/2}=\sqrt{7}.
Portanto, ao elevar \sqrt[4]{7} ao quadrado obtemos \sqrt{7}.

Passo 4

Agora substituo x=\sqrt[4]{7} em f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}. Usando o resultado do passo anterior:
f\bigl(\sqrt[4]{7}\bigr)=\frac{1}{\bigl(\sqrt[4]{7}\bigr)^{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{7}+1}.
Isso já é uma forma correta e exata da resposta.

Passo 5

Se quiser apresentar uma forma sem raiz no denominador (racionalizar), multiplico numerador e denominador por \sqrt{7}-1:
\frac{1}{\sqrt{7}+1}\cdot\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}-1}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)}.
No denominador uso a identidade de soma e diferença de quadrados:
(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)= (\sqrt{7})^{2}-1^{2}=7-1=6.
Logo
\frac{1}{\sqrt{7}+1}=\frac{\sqrt{7}-1}{6}.

Passo 6

Checagem numérica rápida (apenas para sentir se faz sentido): \sqrt{7}\approx2,6458, então
\frac{1}{\sqrt{7}+1}\approx\frac{1}{3,6458}\approx0,2742,
e
\frac{\sqrt{7}-1}{6}\approx\frac{1,6458}{6}\approx0,2743,
os valores batem (diferença por arredondamento), o que confirma a consistência.

Resposta

\dfrac{\sqrt{7}-1}{6}

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