Seja f uma função do tipo f(x)=a x+b, com x \in \mathbb{R}. Sabendo que f(-2)=-4 e 2 f(3)=12, determine os valores de a e b.

Passo 1

O enunciado dá a função afim f(x)=a x+b, com x\in\mathbb{R}, e fornece duas informações numéricas:
  • f(-2) = -4.
  • 2\,f(3) = 12.
O que se pede: determinar os valores de a e de b.

Passo 2

Primeiro traduzimos as informações dadas em equações envolvendo a e b.
Avaliar f em x=-2 significa substituir x por -2 em f(x)=a x+b. Assim obtemos a equação
-2a + b = -4.
Da segunda informação 2\,f(3)=12 tiramos primeiro f(3) dividindo por 2:
f(3)=\frac{12}{2}=6.
Avaliar f em x=3
3a + b = 6.
Agora temos um sistema de duas equações lineares em a e b:
\begin{cases} -2a + b = -4,\\[4pt] 3a + b = 6. \end{cases}]

Passo 3

Vou resolver esse sistema pelo método de eliminação (também conhecido como soma/subtração), porque assim fica fácil eliminar b subtraindo uma equação da outra.
Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos b:
(3a+b)-(-2a+b)=6-(-4).

Passo 4

Calculemos os dois lados da igualdade obtida:
No lado esquerdo,
(3a+b)-(-2a+b)=3a+b+2a-b=5a.
No lado direito,
6-(-4)=6+4=10.
Portanto obtemos a equação simples
5a=10.

Passo 5

Isolando a temos
a=\frac{10}{5}=2.

Passo 6

Com a=2 volte a uma das equações originais para encontrar b. Uso a equação 3a+b=6:
3\cdot 2 + b = 6.
Logo
6 + b = 6 \quad\Rightarrow\quad b=0.

Passo 7

Verificação rápida: na outra equação -2a+b=-4 substituindo a=2 e b=0 obtemos -2\cdot2+0=-4, que bate com o dado. Portanto os valores estão corretos.
Um comentário didático rápido: a função encontrada é f(x)=2x. Aqui a é a inclinação (coeficiente angular) da reta e b é o intercepto (coeficiente linear). Na prova, sempre que te derem valores de f em pontos, transforme em equações e resolva o sistema por eliminação ou substituição — escolha o que eliminar mais facilmente.

Resposta

a=2
b=0

Exercícios relacionados