Se f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-1}, achar:
f(t+1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-1} e pede para calcular f(t+1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de f(x) é \dfrac{x^{2}-4}{x-1}.
  • Deve-se substituir x por t+1 e simplificar a expressão resultante.
  • Atenção: f(x) não está definida em x=1 (porque o denominador fica zero); isso vai influenciar o domínio de f(t+1).

Passo 2

Ideia básica (passo lógico): para obter f(t+1) substitui-se em f(x) cada ocorrência de x por t+1. Aplicando isso diretamente temos a expressão inicial:
f(t+1)=\frac{(t+1)^{2}-4}{(t+1)-1}.

Passo 3

Vamos desenvolver o numerador com calma, expandindo (t+1)^{2} e efetuando a subtração de 4:
(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1,
portanto
(t+1)^{2}-4=t^{2}+2t+1-4=t^{2}+2t-3.

Passo 4

Agora o denominador é simples. Calcula-se:
(t+1)-1=t.

Passo 5

Substituindo o numerador e o denominador simplificados na fração obtemos
f(t+1)=\frac{t^{2}+2t-3}{t}.
Devemos observar o domínio: como o denominador ficou t, é necessário t\neq0. Isso corresponde ao caso x=t+1=1, onde f(x) originalmente não está definida.

Passo 6

Podemos ainda factorizar o numerador para ver alternativas de forma:
t^{2}+2t-3=(t+3)(t-1),
logo outra escrita é
f(t+1)=\frac{(t+3)(t-1)}{t}.
Também podemos dividir termo a termo por t para obter uma forma mista útil para cálculo:
f(t+1)=\frac{t^{2}}{t}+\frac{2t}{t}-\frac{3}{t}=t+2-\frac{3}{t},
válida para t\neq0. Essa forma é prática se for preciso avaliar f(t+1) numericamente.

Resposta

f(t+1)=\dfrac{t^{2}+2t-3}{t},\\ t\neq0

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