Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão
equivale a
.
A expressão
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a igualdade
é verdadeira ou falsa, e justificar.
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é
. - A expressão à direita é
. - Devemos considerar os domínios das expressões (locais onde os denominadores não são zero): isso implica
e .
Passo 2
Lembrando o que significa “equivaler” aqui: duas expressões racionais são equivalentes se elas assumem o mesmo valor para todo
do domínio comum (isto é, para todo
tal que ambas estão definidas). Então vamos comparar as duas expressões como funções de
em seu domínio comum
.
Passo 3
Uma maneira direta é escrever a diferença entre os dois lados e verificar se ela é identicamente zero. Calculemos
Se
for a função zero para todo
do domínio comum, então as expressões são equivalentes; caso contrário, não são.
Passo 4
Colocando na mesma fração com denominador comum
:
Agora simplificamos o numerador passo a passo.]
Passo 5
Expandindo os termos do numerador:
Somando e subtraindo conforme a fórmula do passo anterior:
Portanto
Passo 6
Agora analisamos o numerador
. Para que
fosse identicamente zero (para todo
do domínio comum) seria necessário que o numerador fosse o polinômio zero, isto é,
como polinômio — o que não é verdade, ou então que
para todo
do domínio comum (também impossível). Vamos verificar se esse polinômio tem raízes reais.
Passo 7
Calculamos o discriminante da quadrática
:
Como o discriminante é negativo, a quadrática não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente principal é positivo (
), então
para todo
. Logo o numerador nunca é zero para
real.
Passo 8
Conclusão lógica: para todo
com
e
, tem-se
(o numerador é positivo e o denominador é finito não nulo quando
), portanto as duas expressões não são iguais em geral. Ou seja, a igualdade proposta não é verdadeira como identidade de funções racionais sobre o domínio considerado.
Passo 9
Como verificação numérica simples (contrexemplo): tomar
(que pertence ao domínio). Então
Claro que
, o que confirma que as expressões não são equivalentes.
Resposta
Falso