Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão \frac{3}{6+x} equivale a \frac{1}{2}+\frac{3}{x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a igualdade
\frac{3}{6+x} \equiv \frac{1}{2}+\frac{3}{x}
é verdadeira ou falsa, e justificar.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é \dfrac{3}{6+x}.
  • A expressão à direita é \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{x}.
  • Devemos considerar os domínios das expressões (locais onde os denominadores não são zero): isso implica x\neq -6 e x\neq 0.

Passo 2

Lembrando o que significa “equivaler” aqui: duas expressões racionais são equivalentes se elas assumem o mesmo valor para todo x do domínio comum (isto é, para todo x tal que ambas estão definidas). Então vamos comparar as duas expressões como funções de x em seu domínio comum \{x\in\mathbb{R}: x\neq -6,\; x\neq 0\}.

Passo 3

Uma maneira direta é escrever a diferença entre os dois lados e verificar se ela é identicamente zero. Calculemos
\Delta(x)=\frac{1}{2}+\frac{3}{x}-\frac{3}{6+x}.
Se \Delta(x) for a função zero para todo x do domínio comum, então as expressões são equivalentes; caso contrário, não são.

Passo 4

Colocando na mesma fração com denominador comum 2x(6+x):
\begin{aligned} \Delta(x) &= \frac{x(6+x)}{2x(6+x)}+\frac{6(6+x)}{2x(6+x)}-\frac{6x}{2x(6+x)}\\[6pt] &= \frac{(x(6+x))+(6(6+x))-(6x)}{2x(6+x)}. \end{aligned}
Agora simplificamos o numerador passo a passo.]

Passo 5

Expandindo os termos do numerador:
x(6+x)=6x+x^2, \qquad 6(6+x)=36+6x.
Somando e subtraindo conforme a fórmula do passo anterior:
(6x+x^2)+(36+6x)-6x = x^2 + 6x + 36.
Portanto
\Delta(x)=\frac{x^2+6x+36}{2x(6+x)}.

Passo 6

Agora analisamos o numerador x^2+6x+36. Para que \Delta(x) fosse identicamente zero (para todo x do domínio comum) seria necessário que o numerador fosse o polinômio zero, isto é, x^2+6x+36\equiv 0 como polinômio — o que não é verdade, ou então que x^2+6x+36=0 para todo x do domínio comum (também impossível). Vamos verificar se esse polinômio tem raízes reais.

Passo 7

Calculamos o discriminante da quadrática x^2+6x+36:
\Delta_{\text{quad}} = 6^2 - 4\cdot 1\cdot 36 = 36 - 144 = -108.
Como o discriminante é negativo, a quadrática não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente principal é positivo ( 1>0), então x^2+6x+36>0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo o numerador nunca é zero para x real.

Passo 8

Conclusão lógica: para todo x\in\mathbb{R} com x\neq -6 e x\neq 0, tem-se \Delta(x)>0 (o numerador é positivo e o denominador é finito não nulo quando x\neq 0,-6), portanto as duas expressões não são iguais em geral. Ou seja, a igualdade proposta não é verdadeira como identidade de funções racionais sobre o domínio considerado.

Passo 9

Como verificação numérica simples (contrexemplo): tomar x=1 (que pertence ao domínio). Então
\frac{3}{6+1}=\frac{3}{7}, \qquad \frac{1}{2}+\frac{3}{1}=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}.
Claro que \dfrac{3}{7}\neq \dfrac{7}{2}, o que confirma que as expressões não são equivalentes.

Resposta

Falso

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