Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão \frac{x}{x+y} equivale a \frac{1}{1+y}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a expressão \dfrac{x}{x+y} equivale a \dfrac{1}{1+y} (ou seja, se são iguais para todos os valores admissíveis de x e y). Informações / restrições imediatas que vêm com as expressões:
  • As duas frações só fazem sentido quando os denominadores são diferentes de zero, isto é, é necessário ter x+y \neq 0 e 1+y \neq 0.
  • A pergunta é se a igualdade
\frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+y}
vale identicamente (para todo par (x,y) do domínio) ou não.

Passo 2

Teste simples (contraexemplo) para ver se a igualdade vale em geral. Escolho x=2 e y=1 (esses valores respeitam x+y\neq0 e 1+y\neq0):
\frac{x}{x+y}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{1}{1+y}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como \dfrac{2}{3}\neq\dfrac{1}{2}, a igualdade não vale para todos os (x,y). Logo a afirmativa “equivale” é, em termos gerais, falsa.

Passo 3

Agora vamos achar exatamente quando a igualdade ocorre (para aprender a resolver esse tipo de problema na prova). Partimos da igualdade e resolvemos algebricamente, lembrando das restrições de domínio:
\frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+y}.
Fazendo a multiplicação em cruz (válida quando x+y\neq0 e 1+y\neq0):
x(1+y)=x+y.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
x+xy=x+y.
Subtraindo x de ambos os lados:
xy=y.
Colocando em fator comum:
y(x-1)=0.
Dessa equação resultam as duas possibilidades:
y=0 \quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 4

Verificação das condições de existência (denominadores não nulos) em cada caso e remoção de soluções inválidas:
  • Caso y=0: os denominadores são x+y=x e 1+y=1. Para a expressão \dfrac{x}{x+y} existir é necessário x\neq0. Assim, se y=0 e x\neq0 a igualdade vale (ambas as frações são iguais a 1).
  • Caso x=1: os denominadores são x+y=1+y e 1+y. Para existir precisamos 1+y\neq0, ou seja y\neq-1. Se x=1 e y\neq-1 a igualdade vale (ambas as frações são \dfrac{1}{1+y}).
  • O par x=0,y=0 não é admissível porque deixa a primeira fração \dfrac{0}{0} indefinida; portanto não faz parte das soluções válidas.
Resumo das soluções válidas da igualdade: \{(x,y): y=0,\\ x\neq0\} ou \{(x,y): x=1,\\ y\neq-1\}. Observação: o caso x=1,y=0 pertence a ambos os conjuntos.

Passo 5

Uma visão alternativa que ajuda na prova: se x\neq0 pode-se dividir numerador e denominador por x:
\frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+\dfrac{y}{x}}.
Comparando com \dfrac{1}{1+y}, vemos que para as duas serem iguais precisamos ter \dfrac{y}{x}=y, o que dá y(1-\!x)=0 — a mesma condição que obtivemos antes. Isso reforça o raciocínio e mostra um truque útil na prova: “fatorar” ou “dividir” por algo não nulo para simplificar.

Passo 6

Conclusão interpretativa e incentivo: portanto, a afirmação é falsa no sentido geral — \dfrac{x}{x+y} não equivale a \dfrac{1}{1+y} para todos os x,y. Entretanto, existem casos especiais (não triviais) em que a igualdade é verdadeira: quando y=0 com x\neq0, ou quando x=1 com y\neq-1. Bons estudos — é exatamente esse tipo de manipulação algébrica e atenção ao domínio que cai na prova; pratique com alguns pares de valores para fixar!

Resposta

Falso — a igualdade não vale em geral; vale apenas quando y=0 com x\neq0 ou quando x=1 com y\neq-1.

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