Analise se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A expressão
equivale a
A expressão
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a expressão
equivale a
(ou seja, se são iguais para todos os valores admissíveis de
e
). Informações / restrições imediatas que vêm com as expressões:
- As duas frações só fazem sentido quando os denominadores são diferentes de zero, isto é, é necessário ter
e . - A pergunta é se a igualdade
vale identicamente (para todo par
do domínio) ou não.
Passo 2
Teste simples (contraexemplo) para ver se a igualdade vale em geral. Escolho
e
(esses valores respeitam
e
):
Como
, a igualdade não vale para todos os
. Logo a afirmativa “equivale” é, em termos gerais, falsa.
Passo 3
Agora vamos achar exatamente quando a igualdade ocorre (para aprender a resolver esse tipo de problema na prova). Partimos da igualdade e resolvemos algebricamente, lembrando das restrições de domínio:
Fazendo a multiplicação em cruz (válida quando
e
):
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Colocando em fator comum:
Dessa equação resultam as duas possibilidades:
Passo 4
Verificação das condições de existência (denominadores não nulos) em cada caso e remoção de soluções inválidas:
- Caso
: os denominadores são e . Para a expressão existir é necessário . Assim, se e a igualdade vale (ambas as frações são iguais a ). - Caso
: os denominadores são e . Para existir precisamos , ou seja . Se e a igualdade vale (ambas as frações são ). - O par
não é admissível porque deixa a primeira fração indefinida; portanto não faz parte das soluções válidas.
Resumo das soluções válidas da igualdade:
ou
. Observação: o caso
pertence a ambos os conjuntos.
Passo 5
Uma visão alternativa que ajuda na prova: se
pode-se dividir numerador e denominador por
:
Comparando com
, vemos que para as duas serem iguais precisamos ter
, o que dá
— a mesma condição que obtivemos antes. Isso reforça o raciocínio e mostra um truque útil na prova: “fatorar” ou “dividir” por algo não nulo para simplificar.
Passo 6
Conclusão interpretativa e incentivo: portanto, a afirmação é falsa no sentido geral —
não equivale a
para todos os
. Entretanto, existem casos especiais (não triviais) em que a igualdade é verdadeira: quando
com
, ou quando
com
. Bons estudos — é exatamente esse tipo de manipulação algébrica e atenção ao domínio que cai na prova; pratique com alguns pares de valores para fixar!
Resposta
Falso — a igualdade não vale em geral; vale apenas quando
com
ou quando
com
.