Se f(x)=\frac{3 x-1}{x-7}, achar:
f(3 x-2).

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{3x-1}{x-7} e pede para calcular f(3x-2).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A definição de f é f(x)=\dfrac{3x-1}{x-7}.
  • A expressão que entra na função é 3x-2; ou seja, queremos a composição f(3x-2).
  • Deve-se atentar para a restrição de domínio: o denominador da função original não pode ser zero.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): a composição f(g(x)) significa aplicar f ao valor g(x). Na prática, substitui-se every ocorrência de x na fórmula de f pela expressão g(x). Aqui g(x)=3x-2. Portanto, faça a substituição direta em numerador e denominador:
f(3x-2)=\dfrac{3\bigl(3x-2\bigr)-1}{\bigl(3x-2\bigr)-7}.

Passo 3

Simplificar o numerador passo a passo:
  • Primeiro calcule 3 vezes \bigl(3x-2\bigr):
3\bigl(3x-2\bigr)=9x-6.
  • Subtrair 1:
9x-6-1=9x-7.
Então o numerador simplificado é 9x-7.

Passo 4

Simplificar o denominador passo a passo:
  • Subtrair 7 de \bigl(3x-2\bigr):
\bigl(3x-2\bigr)-7=3x-9.
  • Podemos fatorar 3 no denominador:
3x-9=3(x-3).

Passo 5

Juntando numerador e denominador simplificados, obtemos a expressão final da composição:
f(3x-2)=\dfrac{9x-7}{3x-9}.
Verificação rápida com um exemplo (para ganhar confiança): seja x=0.
  • A definição direta dá f(3\cdot0-2)=f(-2)=\dfrac{3(-2)-1}{-2-7}=\dfrac{-7}{-9}=\dfrac{7}{9}.
  • Pela fórmula obtida, \dfrac{9\cdot0-7}{3\cdot0-9}=\dfrac{-7}{-9}=\dfrac{7}{9}. Confere!
Além disso, restrição de domínio: a composição só faz sentido quando o denominador for não nulo. Assim requer-se
3x-9\neq 0 \quad\Rightarrow\quad x\neq 3.
(Isso vem do fato de que 3x-2 não pode ser igual a 7, pois f não está definida em x=7; resolver 3x-2=7 x=3.)

Resposta

\dfrac{9x-7}{3x-9}

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