Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
.
As perguntas específicas são:
As perguntas específicas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas: a função
está definida para pares
onde
.
Passo 2
Vamos recordar duas regras essenciais que usaremos (explicadas de forma prática):
- Regra do produto (para derivadas parciais). Se
, então
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”.
- Regra da cadeia. Se
depende de uma função intermediária , isto é , então
onde
é a derivada de
em relação ao seu argumento, avaliada em
.
Também preciso das derivadas básicas:
Lembre:
e
.
Passo 3
Escrevo
como produto de duas funções mais simples:
Então
.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra do produto.
Passo 4
Derivadas parciais de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a : como é tratado como constante (porque derivamos em relação a ),
Explicando:
, multiplica-se pela constante
.
- Derivada de
com . Pela regra da cadeia,
Como
, obtemos
Passo 5
Agora aplico a regra do produto para
:
Substituindo os termos:
Colocando em forma factorizada (para ficar mais claro):
Passo 6
Derivadas parciais de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, então
- Derivada de
em relação a : usando regra da cadeia com e ,
Passo 7
Agora aplico a regra do produto para
:
Substituindo:
Factorizando termo comum
:
Passo 8
Opcional: escrever as derivadas sem
e
, em termos de
e
(às vezes pedem nessa forma):