Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
z=\frac{x \sin y}{\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de \,z=\dfrac{x\sin y}{\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,.
As perguntas específicas são:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações dadas: a função \,z(x,y)=\dfrac{x\sin y}{\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)} está definida para pares (x,y) onde \cos\left(x^{2}+y^{2}\right)\neq 0.

Passo 2

Vamos recordar duas regras essenciais que usaremos (explicadas de forma prática):
  • Regra do produto (para derivadas parciais). Se \,z=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} significa “derivar u em relação a \,x mantendo \,y fixo”.
  • Regra da cadeia. Se v depende de uma função intermediária w(x,y), isto é v(w(x,y)), então
\frac{\partial v}{\partial x}= v'(w)\cdot \frac{\partial w}{\partial x},
onde v'(w) é a derivada de v em relação ao seu argumento, avaliada em w.
Também preciso das derivadas básicas:
\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\big)=\operatorname{sec} t\,\tan t.
Lembre: \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t} e \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}.

Passo 3

Escrevo \,z como produto de duas funções mais simples:
u(x,y)=x\sin y, \qquad v(x,y)=\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Então \,z=u\cdot v.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra do produto.

Passo 4

Derivadas parciais de u e v em relação a \,x:
  • Derivada de u(x,y)=x\sin y em relação a \,x: como \sin y é tratado como constante (porque derivamos em relação a \,x),
\frac{\partial u}{\partial x}=\sin y.
Explicando: \dfrac{d}{dx}(x)=1, multiplica-se pela constante \sin y.
  • Derivada de v(x,y)=\operatorname{sec}\big(w(x,y)\big) com w(x,y)=x^{2}+y^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial v}{\partial x}=\operatorname{sec}\big(w\big)\tan\big(w\big)\cdot \frac{\partial w}{\partial x}.
Como \dfrac{\partial w}{\partial x}=2x, obtemos
\frac{\partial v}{\partial x}=2x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto para \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo os termos:
\frac{\partial z}{\partial x} = \sin y\cdot \operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big) + \big(x\sin y\big)\cdot \big(2x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\big).
Colocando em forma factorizada (para ficar mais claro):
\frac{\partial z}{\partial x} = \operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\sin y\left[1 + 2x^{2}\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\right].

Passo 6

Derivadas parciais de u e v em relação a \,y:
  • Derivada de u(x,y)=x\sin y em relação a \,y: aqui x é constante, então
\frac{\partial u}{\partial y}= x\cos y.
  • Derivada de v(x,y)=\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big) em relação a \,y: usando regra da cadeia com w(x,y)=x^{2}+y^{2} e \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y,
\frac{\partial v}{\partial y}=2y\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 7

Agora aplico a regra do produto para \dfrac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial y} = \big(x\cos y\big)\cdot \operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big) + \big(x\sin y\big)\cdot \big(2y\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\big).
Factorizando termo comum \,x\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big):
\frac{\partial z}{\partial y} = x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\left[\cos y + 2y\sin y\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\right].

Passo 8

Opcional: escrever as derivadas sem \operatorname{sec} e \tan, em termos de \sin e \cos (às vezes pedem nessa forma):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sin y}{\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)} + \frac{2x^{2}\sin y\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)}{\cos^{2}\big(x^{2}+y^{2}\big)},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x\cos y}{\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)} + \frac{2xy\sin y\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)}{\cos^{2}\big(x^{2}+y^{2}\big)}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = \operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,\sin y\left[1 + 2x^{2}\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\right]
\frac{\partial z}{\partial y} = x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+y^{2}\big)\left[\cos y + 2y\sin y\,\tan\big(x^{2}+y^{2}\big)\right]

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