f(x) é uma função de classe C^1 em R. Sabe-se que f(0)=1, f(1)=-3, f'(0)=-2 e f'(1) = raiz(2). Defina y = g(x) = f(x) + x. Discuta a existência de uma inversa local de g em vizinhança de x = 0. Calcule (g^-1)'(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! Temos uma função que é diferenciável em todos os números reais (classe ). Nos dão alguns valores específicos de e sua derivada em pontos que importam. A gente define uma nova função e precisa verificar se ela tem uma inversa perto de e, se tiver, calcular a derivada dessa inversa em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como a existência de inversas locais através da derivada da função. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , substituindo :
Isso significa que . Então, estamos interessados na inversa de quando , ou seja, queremos saber qual satisfaz . Pelo que encontramos, faz isso acontecer.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá a derivada de em termos da derivada de .

Passo 4

Para garantir que tem uma inversa local perto de , precisamos que seja diferente de zero. Vamos calcular:
Como , pelo Teorema da Função Inversa, sabemos que tem uma inversa local perto de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da inversa de em . A fórmula para a derivada da inversa é:
Sabemos que , então corresponde a . Portanto:

Resposta

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