é uma função de classe
em
. Sabe-se que
e
. Defina
. Discuta a existência de uma inversa local de
em vizinhança de
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui! Temos uma função
que é diferenciável em todos os números reais (classe
). Nos dão alguns valores específicos de
e sua derivada em pontos que importam. A gente define uma nova função
e precisa verificar se ela tem uma inversa perto de
e, se tiver, calcular a derivada dessa inversa em
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como a existência de inversas locais através da derivada da função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Como
, substituindo
:
Isso significa que
. Então, estamos interessados na inversa de
quando
, ou seja, queremos saber qual
satisfaz
. Pelo que encontramos,
faz isso acontecer.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá a derivada de
em termos da derivada de
.
Passo 4
Para garantir que
tem uma inversa local perto de
, precisamos que
seja diferente de zero. Vamos calcular:
Como
, pelo Teorema da Função Inversa, sabemos que
tem uma inversa local perto de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da inversa de
em
. A fórmula para a derivada da inversa é:
Sabemos que
, então
corresponde a
. Portanto: