Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
  1. f(x) = e^(raiz(x)) * ln(raiz(x)), x > 0
  2. f(x) = ln(x * raiz(x^2 + 1)), x > 0
  3. f(x) = (e^x)^x, x em R
  4. f(x) = (x^x)^x, x > 0
  5. f(x) = (sen(x))^(arcsen(x)), x in (0,1)
  6. f(x) = ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3), x > 1

Passo 1

Vamos derivar a função onde . Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, logarítmicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, a função fica:

Passo 3

Reescrevendo para facilitar a derivação, temos:

Passo 4

Para derivar essa função, usamos a regra do produto. Se , então .
Aqui, e .

Passo 5

Vamos derivar :

Passo 6

Agora, vamos derivar :
Usando a regra da cadeia, onde , temos:
Então,

Passo 7

Aplicando a regra do produto:

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

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