Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
f: R -> R e g: R -> R são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de f(g).

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão nos diz que temos duas funções, e , que são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. O objetivo aqui é descobrir se a composição dessas duas funções, , também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como funciona a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversível. Uma função é inversível se existe outra função tal que:
Isso quer dizer que aplicar e depois (ou vice-versa) nos leva de volta ao ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição . Isso significa que primeiro aplicamos e depois . Para verificar se é inversível, precisamos encontrar uma função que “desfaça” essa composição.

Passo 4

Sabemos que e são inversíveis, então existem e que são suas inversas. A pergunta é: como podemos usar e para encontrar a inversa de ?

Passo 5

Vamos tentar compor as inversas na ordem inversa. Ou seja, primeiro aplicar e depois . Vamos verificar se isso funciona:
E igualmente:
Isso mostra que é realmente a inversa de .

Resposta

Sim, a composição é inversível, e sua inversa é .

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