Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função f(x)=\log x e queremos provar que f(u\cdot v)=f(u)+f(v). O conteúdo aqui é a propriedade fundamental de logaritmos que relaciona produto no argumento com soma dos logaritmos. Para isso, vamos usar a definição de logaritmo como inversa da exponenciação e a regra de potência para produtos.
Passo 2
Vamos supor que o logaritmo seja na base a>0, a≠1. Defina A=\log_a u e B=\log_a v. Pela definição de logaritmo temos a^A = u e a^B = v. Então
Passo 3
Agora, aplicando f(uv)=\log_a(u v) e usando a relação acima, obtemos
Passo 4
Como A=\log_a u e B=\log_a v, concluímos que f(u\cdot v)=\log_a u + \log_a v = f(u)+f(v).
Resposta
f(u\cdot v)=f(u)+f(v)