En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función
dada sobre la superficie indicada
, sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície da função $ p(x, y, z) = z $ sobre a superfície $ K
x^2 + y^2 + z^2 = 1 $) onde $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície $ K $. Ela é uma parte da esfera unitária onde $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Isso significa que estamos trabalhando com o “oitavo” de esfera, ou seja, apenas a parte onde $ x $ e $ z $ são positivos.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos usar a fórmula:
Onde $ dS $ é o elemento de área na superfície $ K $.
Passo 4
Como estamos trabalhando com uma esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos. As coordenadas esféricas são dadas por:
Onde $ \phi $ é o ângulo polar (0 a $ \frac{\pi}{2} $ para nossa região) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (0 a $ \frac{\pi}{2} $ também, devido às restrições $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $).
Passo 5
O elemento de área $ dS $ na esfera unitária em coordenadas esféricas é:
Passo 6
A função que vamos integrar é $ p(x, y, z) = z $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a $ \theta $:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos resolver a integral em $ \phi $:
Podemos usar substituição. Seja $ u = \sin\phi $, então $ du = \cos\phi , d\phi $. A integral fica:
Avaliado de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Passo 10
Agora, multiplicamos pelo resultado anterior:
Resposta
A integral de superfície é igual a $ \frac{\pi}{4} $.