En los ejercicios 2-12, calcule la integral de superficie de la función rho: U subseteq R^3 R dada sobre la superficie indicada
p(x, y, z)=z, sobre K=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2=1, x >= 0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície da função $ p(x, y, z) = z $ sobre a superfície $ K p(x, y, z) = z éá x^2 + y^2 + z^2 = 1 $) onde $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície $ K $. Ela é uma parte da esfera unitária onde $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $. Isso significa que estamos trabalhando com o “oitavo” de esfera, ou seja, apenas a parte onde $ x $ e $ z $ são positivos.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos usar a fórmula:
integral duplaK p(x, y, z) , dS
Onde $ dS $ é o elemento de área na superfície $ K $.

Passo 4

Como estamos trabalhando com uma esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos. As coordenadas esféricas são dadas por:
x = sinphi costheta y = sinphi sintheta z = cosphi
Onde $ \phi $ é o ângulo polar (0 a $ \frac{\pi}{2} $ para nossa região) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (0 a $ \frac{\pi}{2} $ também, devido às restrições $ x \geq 0 $ e $ z \geq 0 $).

Passo 5

O elemento de área $ dS $ na esfera unitária em coordenadas esféricas é:
dS

Passo 6

A função que vamos integrar é $ p(x, y, z) = z $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
p(x, y, z) = z

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaK z , dS = integral0^pi2 integral0^pi2 cosphi cdot sinphi , dtheta , dphi

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 dtheta = pi2

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral em $ \phi $:
phi
Podemos usar substituição. Seja $ u = \sin\phi $, então $ du = \cos\phi , d\phi $. A integral fica:
integral cosphi cdot sinphi , dphi
Avaliado de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
u = sinphi

Passo 10

Agora, multiplicamos pelo resultado anterior:
pi2 cdot 12 = pi4

Resposta

A integral de superfície é igual a $ \frac{\pi}{4} $.

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