Se f(x)=x \sqrt{2-x^{2}}, encontre f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x\sqrt{2-x^{2}}
e pede f'(x). O conteúdo principal envolve a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Separe a função em dois fatores: u(x)=x e
v(x)=\sqrt{2-x^{2}}=(2-x^{2})^{1/2}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calcule cada derivada: u'(x)=1.
Para v'(x), use a cadeia em (2-x^{2})^{1/2}:
v'(x)=\frac12(2-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) =-x\,(2-x^{2})^{-1/2} =-\frac{x}{\sqrt{2-x^{2}}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=1\cdot\sqrt{2-x^{2}} + x\cdot\Bigl(-\frac{x}{\sqrt{2-x^{2}}}\Bigr) =\sqrt{2-x^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}}.
Colocando num único quociente com denominador \sqrt{2-x^{2}}:
f'(x) =\frac{(2-x^{2})-x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}} =\frac{2-2x^{2}}{\sqrt{2-x^{2}}} =\frac{2(1-x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2(1-x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}.

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