Encontre a área da região limitada por y=8 x^{2} e y=32 x-8 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=8x^{2} e \,y=32x-8x^{2}. Isso é um problema de área entre duas curvas no plano xy, que vamos resolver encontrando os pontos de interseção e depois computando uma integral definida da diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
8x^{2} \;=\; 32x \;-\; 8x^{2}
16x^{2} - 32x = 0
16x(x - 2)=0
Logo, x=0 ou x=2.

Passo 3

Para x no intervalo [0,2], comparamos
(32x-8x^{2}) - (8x^{2}) = 32x - 16x^{2} = 16x(2 - x)\ge0.
Isso mostra que em [0,2] a curva de cima é \,y=32x-8x^{2} e a de baixo é \,y=8x^{2}.

Passo 4

A área pedida é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(32x-8x^{2}) - 8x^{2}\bigr]\,dx = \int_{0}^{2}(32x - 16x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int(32x)\,dx = 16x^{2}, \quad \int(16x^{2})\,dx = \tfrac{16}{3}x^{3}.
Então
A = \Bigl[16x^{2} - \tfrac{16}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(16\cdot4 - \tfrac{16}{3}\cdot8\bigr) - 0 = 64 - \tfrac{128}{3} = \tfrac{64}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{64}{3}

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