Se f(x)=x \sqrt{2-x^{2}}, encontre f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\sqrt{2 - x^2}
e pede a derivada f'(x). O conteúdo é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia para diferenciação.

Passo 2

Vamos escrever
u(x)=x, \quad v(x)=\sqrt{2 - x^2}=(2 - x^2)^{\tfrac12}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Como u'(x)=1, temos
f'(x)=\sqrt{2 - x^2}+x\,v'(x).

Passo 3

Para v(x)=(2 - x^2)^{\tfrac12}, aplicamos a regra da cadeia:
v'(x)=\tfrac12(2 - x^2)^{-\tfrac12}\cdot(-2x) =-\,\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\sqrt{2 - x^2} +x\Bigl(-\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}}\Bigr) =\sqrt{2 - x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2 - x^2}}.
Colocando sobre denominar comum \sqrt{2 - x^2}:
f'(x) =\frac{(\,2 - x^2\,)-x^2}{\sqrt{2 - x^2}} =\frac{2 - 2x^2}{\sqrt{2 - x^2}} =\frac{2(1 - x^2)}{\sqrt{2 - x^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2(1 - x^2)}{\sqrt{2 - x^2}}.

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