Nos exercícios 24. a 31. calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é o polinômio
. - A variável
tende para .
A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não, justificar por que não existe.
Passo 2
Ideia intuitiva (sem formalizar ainda): para
muito grande, termos com potências maiores de
crescem muito mais rápido. Aqui o termo de maior grau é
e o termo menor é
. Intuitivamente
domina
quando
, então espera-se que a diferença cresça até
. Agora vamos transformar essa intuição em argumentos sólidos.
Passo 3
Mostração por divisão pelo termo de maior grau. Escrevendo
Observe que, quando
,
Além disso,
. Como para
tem-se
, o produto de uma função que tende a
por uma função positiva que tende a
tende a
. Portanto a expressão tende a
.
Passo 4
Mostração alternativa e muito direta (fatoração). Fatorando temos
Para todo
vale
, portanto, para
,
Como
, e
é maior ou igual a
para
, segue que
.
Passo 5
Prova formal usando a definição de limite infinito: seja
arbitrário. Escolha
Se
então
e
. Pelas desigualdades do Passo 4,
Assim para todo
existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a definição de
.
Passo 6
Conclusão cuidadosa: todas as abordagens (divisão pelo maior grau, fatoração e prova por definição) mostram que a expressão cresce sem limite positivo quando
. Portanto o limite não é um número real finito; ele diverge para
.