Nos exercícios 24. a 31. calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow \infty} x^{4}-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow\infty} x^{4}-x^{3}.
Informações dadas:
  • A função considerada é o polinômio \,x^{4}-x^{3}.
  • A variável x tende para +\infty.
    A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Ideia intuitiva (sem formalizar ainda): para x muito grande, termos com potências maiores de x crescem muito mais rápido. Aqui o termo de maior grau é \,x^{4} e o termo menor é \,x^{3}. Intuitivamente \,x^{4} domina \,x^{3} quando x\to\infty, então espera-se que a diferença cresça até +\infty. Agora vamos transformar essa intuição em argumentos sólidos.

Passo 3

Mostração por divisão pelo termo de maior grau. Escrevendo
x^{4}-x^{3}=x^{4}\!\left(1-\frac{1}{x}\right).
Observe que, quando x\to\infty,
\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)=1.
Além disso, \lim_{x\rightarrow\infty}x^{4}=+\infty. Como para x>1 tem-se 1-\dfrac{1}{x}>0, o produto de uma função que tende a +\infty por uma função positiva que tende a 1 tende a +\infty. Portanto a expressão tende a +\infty.

Passo 4

Mostração alternativa e muito direta (fatoração). Fatorando temos
x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1).
Para todo x\ge 2 vale x-1\ge 1, portanto, para x\ge 2,
x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\ge x^{3}.
Como \lim_{x\rightarrow\infty}x^{3}=+\infty, e x^{4}-x^{3} é maior ou igual a x^{3} para x\ge 2, segue que x^{4}-x^{3}\to+\infty.

Passo 5

Prova formal usando a definição de limite infinito: seja M>0 arbitrário. Escolha
N=\max\{2,\;M^{1/3}\}.
Se x>N então x\ge 2 e x\ge M^{1/3}. Pelas desigualdades do Passo 4,
x^{4}-x^{3}\ge x^{3}\ge M.
Assim para todo M>0 existe N tal que x>N implica x^{4}-x^{3}>M. Isso é exatamente a definição de \lim_{x\to\infty} (x^{4}-x^{3})=+\infty.

Passo 6

Conclusão cuidadosa: todas as abordagens (divisão pelo maior grau, fatoração e prova por definição) mostram que a expressão cresce sem limite positivo quando x\to\infty. Portanto o limite não é um número real finito; ele diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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