Se f(x)=3 x^{2}-x+2, encontre f(2), f(-2), f(a), f(-a), f(a+1), 2 f(a), f(2 a), f\left(a^{2}\right),[f(a)]^{2} e f(a+h).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=3x^{2}-x+2.
Pede para calcular os valores (substituir argumentos na função):
f(2),\; f(-2),\; f(a),\; f(-a),\; f(a+1),\; 2f(a),\; f(2a),\; f\bigl(a^{2}\bigr),\; [f(a)]^{2},\; f(a+h).
Anotado isso, vamos avaliar cada um substituindo o valor pedido no lugar de x e simplificando passo a passo.

Passo 2

Calcular f(2). Substituir x=2 em f(x)=3x^{2}-x+2:
f(2)=3\cdot(2)^{2}-(2)+2.
Explicando: (2)^{2}=4, então
f(2)=3\cdot 4-2+2.
Multiplicando e somando:
f(2)=12-2+2=12.

Passo 3

Calcular f(-2). Substituir x=-2:
f(-2)=3\cdot(-2)^{2}-(-2)+2.
Aqui (-2)^{2}=4 (lembre: quadrado elimina o sinal), então
f(-2)=3\cdot 4+2+2.
Somando:
f(-2)=12+2+2=16.

Passo 4

Calcular f(a). Substituir x=a:
f(a)=3\cdot a^{2}-a+2.
Isso já é uma expressão simplificada em termos de a:
f(a)=3a^{2}-a+2.

Passo 5

Calcular f(-a). Substituir x=-a:
f(-a)=3\cdot(-a)^{2}-(-a)+2.
Como (-a)^{2}=a^{2} e -(-a)=+a, obtemos
f(-a)=3a^{2}+a+2.

Passo 6

Calcular f(a+1). Substituir x=a+1:
f(a+1)=3\cdot (a+1)^{2}-(a+1)+2.
Agora expandir (a+1)^{2}. Regra: (a+1)^{2}=a^{2}+2a+1 (FOIL / distributiva). Então
f(a+1)=3\cdot (a^{2}+2a+1)-a-1+2.
Multiplicar por 3:
f(a+1)=3a^{2}+6a+3-a-1+2.
Agrupar termos semelhantes:
f(a+1)=3a^{2}+(6a-a)+(3-1+2)=3a^{2}+5a+4.

Passo 7

Calcular 2f(a). Multiplicar a expressão f(a)=3a^{2}-a+2 por 2:
2f(a)=2\cdot(3a^{2}-a+2)=6a^{2}-2a+4.
Regra usada: distributiva 2\cdot(u+v+w)=2u+2v+2w.

Passo 8

Calcular f(2a). Substituir x=2a:
f(2a)=3\cdot(2a)^{2}-(2a)+2.
Calcular (2a)^{2}=4a^{2}, assim
f(2a)=3\cdot 4a^{2}-2a+2=12a^{2}-2a+2.

Passo 9

Calcular f\bigl(a^{2}\bigr). Substituir x=a^{2}:
f\bigl(a^{2}\bigr)=3\cdot (a^{2})^{2}-a^{2}+2.
Lembrando que (a^{2})^{2}=a^{4}, fica
f\bigl(a^{2}\bigr)=3a^{4}-a^{2}+2.

Passo 10

Calcular [f(a)]^{2}. Primeiro lembramos f(a)=3a^{2}-a+2. Então
[f(a)]^{2}=(3a^{2}-a+2)^{2}.
Explicar como elevar um trinômio ao quadrado: usar a fórmula geral (u+v+w)^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}+2uv+2uw+2vw. Aqui u=3a^{2}, v=-a, w=2. Calcular cada termo:
u^{2}=(3a^{2})^{2}=9a^{4},
v^{2}=(-a)^{2}=a^{2},
w^{2}=2^{2}=4,
2uv=2\cdot(3a^{2})\cdot(-a)=-6a^{3},
2uw=2\cdot(3a^{2})\cdot 2=12a^{2},
2vw=2\cdot(-a)\cdot 2=-4a.
Somando todos:
[f(a)]^{2}=9a^{4}-6a^{3}+(a^{2}+12a^{2})-4a+4.
Combinar a^{2} com 12a^{2}:
[f(a)]^{2}=9a^{4}-6a^{3}+13a^{2}-4a+4.

Passo 11

Calcular f(a+h). Substituir x=a+h:
f(a+h)=3\cdot (a+h)^{2}-(a+h)+2.
Expandir (a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2}. Então
f(a+h)=3\cdot (a^{2}+2ah+h^{2})-a-h+2.
Multiplicar por 3:
f(a+h)=3a^{2}+6ah+3h^{2}-a-h+2.
Agrupando termos de forma ordenada (por exemplo em potências de h):
f(a+h)=3h^{2}+(6a-1)h+(3a^{2}-a+2).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira mostra todos os termos explícitos:
f(a+h)=3a^{2}+6ah+3h^{2}-a-h+2.

Resposta

f(2)=12
f(-2)=16
f(a)=3a^{2}-a+2
f(-a)=3a^{2}+a+2
f(a+1)=3a^{2}+5a+4
2f(a)=6a^{2}-2a+4
f(2a)=12a^{2}-2a+2
f\bigl(a^{2}\bigr)=3a^{4}-a^{2}+2
[f(a)]^{2}=9a^{4}-6a^{3}+13a^{2}-4a+4
f(a+h)=3a^{2}+6ah+3h^{2}-a-h+2

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