1. (a) Se f(x)=e^5 x+2tg(2 x+pi4), encontre o coeficiente angular da reta tangente a f no ponto em que x=0.

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=e^5x+2tan!l(2x+pi4r)
e pede o coeficiente angular da reta tangente a f no ponto x=0. Isso equivale a calcular f'(0). Para isso vamos usar a regra do quociente e a derivada da tangente (regra da cadeia).

Passo 2

Seja
u(x)=e^5x+2, v(x)=tan!l(2x+pi4r)
Então pela regra do quociente
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Calculamos
u'(x)=5e^5x+2, v'(x)=sec^2!l(2x+tfracpi4r)cdot 2

Passo 3

Agora avaliamos em x=0:
u(0)=e^2, u'(0)=5e^2,
v(0)=tan!l(tfracpi4r)=1, sec^2!l(tfracpi4r)=2 ;Longrightarrow; v'(0)=2cdot 2=4

Passo 4

Substituindo em f'(0)=u'(0),v(0)-u(0),v'(0)[v(0)]^2, temos
f'(0) =5e^2cdot 1 - e^2cdot 41^2 =l(5-4r)e^2 =e^2

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente a f em x=0 é e^2.

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