6 Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas y=x^3-x e y=sen(pi x) no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas
y = x^3 - x
e
y = sen(pi x)
no intervalo 0 <= x <= 1.
O conteúdo é “área entre duas curvas” e vamos precisar:
  1. Identificar qual função está acima da outra em [0,1].
  2. Escrever a integral da diferença dessas funções.
  3. Calcular as integrais definidas resultantes.

Passo 2

Em 0<= x<=1 temos
x^3 - x = x,(x^2-1)<= 0
porque x^2-1<0, e
sen(pi x)>=0
pois sen(pi x) é não negativa em [0,1]. Logo, para cada x em [0,1] vale
sen(pi x)>= x^3-x
e a área é
integral0^1l[sen(pi x)-(x^3-x)r],dx

Passo 3

Separamos a integral em três partes:
integral0^1sen(pi x),dx ;-;integral0^1x^3,dx ;+;integral0^1x,dx

Passo 4

Calcular integral0^1sen(pi x),dx.
Temos
integralsen(pi x),dx = -cos(pi x)pi,
portanto
integral0^1sen(pi x),dx = l[-cos(pi x)pir]0^1 = -cos(pi)pi + cos(0)pi = --1pi + 1pi = 2pi

Passo 5

Calcular as integrais polinomiais:
integral0^1x^3,dx = x^44|0^1 = 14,
integral0^1x,dx = x^22|0^1 = 12

Passo 6

Reunindo tudo:
Área = 2pi ;-;14 ;+;12 = 2pi + l(-14+12r) = 2pi + 14 Á

Resposta

boxed2pi + 14

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