f(x, y)=cl x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que f é contínua.
(b) Seja X0=(0,0) e Y=(a, b). Mostre que f^prime(X0 ; Y)=f(Y).
© Prove que f não é de classe C^1.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
Devemos mostrar (a) que f é contínua em todo lugar, (b) que a derivada direcional de f em X0=(0,0) na direção Y=(a,b) satisfaz
f'(X0;Y)=f(a,b),
e © que f não é de classe C^1. Para isso, precisaremos usar limites em funções de várias variáveis, definição de derivada direcional (Gateaux) e a caracterização de diferentiabilidade total (Frechet) e C^1.

Passo 2

Para (a), note que para (x,y)neq(0,0) a fórmula de f é razão de polinômios com denominador não nulo, logo f é contínua fora da origem. Falta verificar continuidade em (0,0). Calculamos
|f(x,y)-0|=|x^3x^2+y^2|=|x|^3x^2+y^2<=|x|^3x^2=|x|
Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), segue que f(x,y)to0=f(0,0). Portanto, f é contínua.

Passo 3

Para (b), usamos a definição de derivada direcional em X0=(0,0) na direção Y=(a,b):
f'(X0;Y)=limtto0f(0+ta,0+tb)-f(0,0)t= limtto0f(ta,tb)t
Para tneq0 temos
f(ta,tb)=(ta)^3(ta)^2+(tb)^2=tcdota^3a^2+b^2,
então
f(ta,tb)t=a^3a^2+b^2
independente de t. Logo,
$$f’(X_0;Y)=\frac{a3}{a2+b^2}=f(a,b).
$$

Passo 4

Para ©, uma função de classe C^1 em (0,0) precisaria ter derivada total (Frechet) em (0,0), isto é, existir uma aplicação linear L:R^2toR tal que
f(ta,tb)-f(0,0)-L(ta,tb)=o(t)
quando tto0. Mas do cálculo em (b) temos
f(ta,tb)=t,a^3a^2+b^2,
e portanto o candidato a L seria L(a,b)=a^3/(a^2+b^2). Entretanto, L não é linear em (a,b) (é uma razão homogenêa de grau 1, mas não soma). Logo não existe L linear que satisfaça a condição de erro o(t). Assim, f não é diferenciável no sentido total em (0,0) e, portanto, não é de classe C^1.

Resposta

(a) f é contínua em todo R^2.
(b) f’( (0,0);(a,b) )=f(a,b)=\dfrac{a3}{a2+b^2}.
© f não é de classe C^1 pois a derivada total em (0,0) não pode ser representada por nenhum operador linear.

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