Sabendo que f: R R é derivável e que f(0)=1, f(1)=1, f(2)=-1, podemos afirmar que:
Existe x entre 0 e 1 tal que f^prime(x)=0

Passo 1

Temos uma função f: R R derivável com f(0)=1, f(1)=1 e f(2)=-1. O conteúdo aqui é o Teorema de Rolle, que nos dá condições para existirem pontos onde a derivada é zero quando os valores da função nos extremos são iguais.

Passo 2

Como f é derivável em R, ela é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1). Além disso, f(1)-f(0)=1-1=0. Portanto, aplicando o Teorema de Rolle em [0,1], concluímos que existe xin(0,1) tal que f'(x)=0.

Resposta

Sim. Pelo Teorema de Rolle, existe xin(0,1) tal que f'(x)=0.

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