Se f(x, y) = sen(x / y) + ln(y / x), mostre que x f(x) + y f(y) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função e pede para mostrar que . Então, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Vamos calcular :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por e por :

Passo 5

Agora, somamos e :
Observamos que os termos se cancelam e .

Resposta

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