Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde C in R é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
d) e^x sen(y)+2 y cos (x)=C Rightarrow[e^x sen(y)-2 y sen(x)] d x+[e^x cos (y)+2 cos (x)] d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma relação dada é uma solução geral de uma certa Equação Diferencial Ordinária (EDO). Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais exatas. Vamos precisar calcular derivadas parciais e verificar se certas condições são atendidas para confirmar se a relação é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial na forma padrão: M(x, y) = e^x sin(y) - 2y sin(x) .
No nosso caso:
N(x, y) = e^x cos(y) + 2 cos(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial Mpartial y = e^x cos(y) - 2 sin(x) em relação a partial Npartial x = e^x cos(y) - 2 sin(x) e de em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos comparar partial Mpartial y = e^x cos(y) - 2 sin(x) = partial Npartial x e :
Como as duas derivadas são iguais, a equação diferencial é exata.

Resposta

Sim, a relação dada é uma solução geral da EDO apresentada, porque as derivadas parciais de e são iguais, tornando a equação exata.

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