Se f(x, y, z)=x^{3} y^{2}+y^{4} \operatorname{arctg} y+z^{2}-x z^{2}, calcule a derivada de terceira ordem
\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y \partial z}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{3}y^{2}+y^{4}\operatorname{arctg}y+z^{2}-x z^{2}
e pede a derivada de terceira ordem
\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y\partial z}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f é explícita em x,y,z.
  • O termo \operatorname{arctg}y é a função y\mapsto \arctan(y), depende somente de y.
  • O pedido \dfrac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y\partial z} significa aplicar sucessivamente as derivadas parciais: primeiro em z, depois em y e por fim em x; por funções suficientemente suaves (aqui polinômios e \arctan são suaves) a ordem pode ser trocada sem alterar o resultado.

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre derivadas parciais (passo-a-passo como usar na prova):
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo z) significa derivar f tratando as outras variáveis ( x,y) como constantes.
  • Regras que vamos usar:
    • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    • Se g(z)=z^{2} então g'(z)=2z.
    • Se h(z)=x\cdot z^{2} com x tratado como constante, então \dfrac{\partial}{\partial z}(x z^{2})=x\cdot 2z.
  • Teorema de Clairaut (simetria das derivadas mistas): se as derivadas parciais de ordem necessários são contínuas, então a ordem das diferenciações não importa. Aqui isso vale, então podemos confiar em calcular na ordem pedida ou em qualquer outra ordem conveniente.

Passo 3

Calcule a derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{4}\operatorname{arctg}y\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x z^{2}\bigr).
Agora avaliar cada termo (lembrando que x,y são tratados como constantes ao derivar por z):
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=0 (não depende de z).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{4}\operatorname{arctg}y\bigr)=0 (não depende de z).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}\bigr)=2z.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(x z^{2}\bigr)=x\cdot 2z=2xz.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=2z-2xz=2z(1-x).

Passo 4

Agora calcule a derivada parcial em relação a y do resultado obtido:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2z(1-x)\bigr).
Ao derivar em relação a y, x e z são constantes nessa operação, e a expressão 2z(1-x) não contém y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)=0.

Passo 5

Finalmente, calcule a derivada parcial em relação a x do que obtivemos:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right) =\frac{\partial}{\partial x}(0)=0.
Portanto a derivada mista de terceira ordem pedida é zero.

Resposta

0

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