Se
, calcule a derivada de terceira ordem
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de terceira ordem
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é explícita em . - O termo
é a função , depende somente de . - O pedido
significa aplicar sucessivamente as derivadas parciais: primeiro em , depois em e por fim em ; por funções suficientemente suaves (aqui polinômios e são suaves) a ordem pode ser trocada sem alterar o resultado.
Passo 2
Lembrete didático rápido sobre derivadas parciais (passo-a-passo como usar na prova):
- A derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) significa derivar tratando as outras variáveis ( ) como constantes. - Regras que vamos usar:
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Se
então . - Se
com tratado como constante, então .
- Teorema de Clairaut (simetria das derivadas mistas): se as derivadas parciais de ordem necessários são contínuas, então a ordem das diferenciações não importa. Aqui isso vale, então podemos confiar em calcular na ordem pedida ou em qualquer outra ordem conveniente.
Passo 3
Calcule a derivada parcial em relação a
:
Agora avaliar cada termo (lembrando que
são tratados como constantes ao derivar por
):
-
(não depende de ). -
(não depende de ). -
. -
.
Portanto
Passo 4
Agora calcule a derivada parcial em relação a
do resultado obtido:
Ao derivar em relação a
,
e
são constantes nessa operação, e a expressão
não contém
. Assim
Passo 5
Finalmente, calcule a derivada parcial em relação a
do que obtivemos:
Portanto a derivada mista de terceira ordem pedida é zero.