Se
é uma função definida em uma região aberta
na qual
e
são funções contínuas, o teorema de Clairaut afirma que
em
. Verifique esta relação nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em uma região aberta
e pede para verificar a relação de igualdade entre as derivadas parciais mistas
e
(isto é, mostrar que
em
). Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se calcular as derivadas parciais primeiras e depois as mistas.
- Também é útil observar se as derivadas mistas são contínuas, pois o teorema de Clairaut exige essa continuidade.
Passo 2
Definição e regra que vamos usar: a derivada parcial
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante. Para derivar o termo
em relação a
usaremos a regra do produto: se
e
, então a derivada de
é
. Aqui:
-
tem . -
tem .
Aplicando isso ao nosso, e lembrando que o termo é tratado como constante quando derivamos em , obtemos:
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial mista
, que é a derivada de
em relação a
. Observe que
não contém
(nenhum dos termos depende de
). Portanto, ao diferenciar em relação a
mantendo
fixo, obtemos:
Passo 4
Agora calculemos
: a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. No nosso
, o termo
não depende de
, e o termo
tem derivada
. Assim:
Passo 5
Calculamos a derivada parcial mista
, que é a derivada de
em relação a
. Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero:
Passo 6
Conclusão: encontramos
logo
para todos os pontos de
. Além disso, as funções
e
são a função zero, que é contínua, portanto as hipóteses do teorema de Clairaut são satisfeitas neste caso.