Se f(x, y) é uma função definida em uma região aberta D na qual f_{x y} e f_{y x} são funções contínuas, o teorema de Clairaut afirma que f_{x y}=f_{y x} em D. Verifique esta relação nos seguintes casos:
f(x, y)=x \operatorname{sen} x+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\operatorname{sen} x+y^{2} definida em uma região aberta D e pede para verificar a relação de igualdade entre as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} (isto é, mostrar que f_{x y}=f_{y x} em D). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x\operatorname{sen} x+y^{2}.
  • Precisa-se calcular as derivadas parciais primeiras e depois as mistas.
  • Também é útil observar se as derivadas mistas são contínuas, pois o teorema de Clairaut exige essa continuidade.

Passo 2

Definição e regra que vamos usar: a derivada parcial \,f_x(x,y)\, é a derivada de f em relação a x tratando y como constante. Para derivar o termo x\operatorname{sen} x em relação a x usaremos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen} x, então a derivada de u v é u'v+uv'. Aqui:
  • u(x)=x tem u'(x)=1.
  • v(x)=\operatorname{sen} x tem v'(x)=\cos x.
    Aplicando isso ao nosso f, e lembrando que o termo y^{2} é tratado como constante quando derivamos em x, obtemos:
f_x(x,y)=\sin x + x\cos x.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial mista \,f_{x y}\,, que é a derivada de f_x em relação a y. Observe que f_x(x,y)=\sin x + x\cos x não contém y (nenhum dos termos depende de y). Portanto, ao diferenciar em relação a y mantendo x fixo, obtemos:
f_{x y}(x,y)=0.

Passo 4

Agora calculemos \,f_y(x,y)\,: a derivada parcial de f em relação a y, tratando x como constante. No nosso f, o termo x\operatorname{sen} x não depende de y, e o termo y^{2} tem derivada 2y. Assim:
f_y(x,y)=2y.

Passo 5

Calculamos a derivada parcial mista \,f_{y x}\,, que é a derivada de f_y em relação a x. Como f_y(x,y)=2y não depende de x, sua derivada em relação a x é zero:
f_{y x}(x,y)=0.

Passo 6

Conclusão: encontramos
f_{x y}(x,y)=0\qquad\text{e}\qquad f_{y x}(x,y)=0,
logo f_{x y}=f_{y x} para todos os pontos de D. Além disso, as funções f_{x y} e f_{y x} são a função zero, que é contínua, portanto as hipóteses do teorema de Clairaut são satisfeitas neste caso.

Resposta

f_{x y}=f_{y x}=0

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