Calcule as derivadas de terceira ordem de
e verifique as igualdades
O que podemos dizer sobre as derivadas
e
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que:
- se calculem as derivadas de terceira ordem de
(ou seja, todas as derivadas parciais de ordem 3); - se verifique a igualdade
- e que se diga algo sobre as derivadas
e .
Informações relevantes dadas:
é um polinômio em
e
(portanto é infinitamente diferenciável), e as derivadas parciais devem ser obtidas pela diferenciação padrão (regra do poder e regra do produto, tratando a variável que não é diferenciada como constante).
Passo 2
Relembrando as regras básicas que vou usar (com explicações curtas):
- Regra do poder (com variável fixa em produtos): se
com inteiros , então
Isto é, ao derivar em relação a
trata-se
como constante, e vice-versa.
- Regra do produto: se
e são funções, então
e análogamente para derivação em
.
Como é soma de monômios, basta aplicar a regra do poder em cada monômio.
Como
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Derivando em
(mantendo
constante):
Derivando em
(mantendo
constante):
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem, a partir das primeiras:
Derivando em
:
Derivando
Derivando
em
:
Derivando
em
(verificação de consistência):
que coincide com
(como esperado para funções suficientemente suaves).
Derivando em
:
Derivando
Passo 5
Agora calculo todas as derivadas de terceira ordem. Vou partir das segundas derivadas já obtidas e derivar conforme necessário.
- A partir de
:
- A partir de
:
- A partir de
:
- A partir de
(já calculada):
Resumo dos resultados de ordem 3 (extraído dos cálculos acima):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Passo 6
Verificação da igualdade pedida:
Portanto as três são iguais ponto a ponto. Explicação conceitual curta:
é polinomial (logo tem derivadas parciais contínuas de todas as ordens), e pelo teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz / Clairaut) as derivadas parciais mistas coincidem quando as derivadas apropriadas são contínuas — por isso as permutações na ordem dão o mesmo resultado.
Passo 7
Sobre
e
: são derivadas de quarta ordem. Posso calculá-las explicitamente a partir dos resultados de ordem 3.
A partir de
, derivando em
:
A partir de
, derivando duas vezes em
:
Portanto
Novamente, igualdade consequência do mesmo princípio de permutação de derivadas mistas para funções suaves (aqui
é polinomial).