Calcule as derivadas de terceira ordem de f(x, y)=x^{4} y^{3}+y^{5} x^{2} e verifique as igualdades
\partial_{x y x} f=\partial_{x x y} f=\partial_{y x x} f
O que podemos dizer sobre as derivadas \partial_{x y x y} f e \partial_{y y x x} f ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{4}y^{3}+y^{5}x^{2}
e pede que:
  • se calculem as derivadas de terceira ordem de f (ou seja, todas as derivadas parciais de ordem 3);
  • se verifique a igualdade
\partial_{x y x} f=\partial_{x x y} f=\partial_{y x x} f;
  • e que se diga algo sobre as derivadas \partial_{x y x y} f e \partial_{y y x x} f.
Informações relevantes dadas: f é um polinômio em x e y (portanto é infinitamente diferenciável), e as derivadas parciais devem ser obtidas pela diferenciação padrão (regra do poder e regra do produto, tratando a variável que não é diferenciada como constante).

Passo 2

Relembrando as regras básicas que vou usar (com explicações curtas):
  • Regra do poder (com variável fixa em produtos): se g(x,y)=x^{a}y^{b} com a,b inteiros \ge0, então
\frac{\partial}{\partial x} \bigl(x^{a}y^{b}\bigr)=a\,x^{a-1}y^{b}, \qquad \frac{\partial}{\partial y} \bigl(x^{a}y^{b}\bigr)=b\,x^{a}y^{b-1}.
Isto é, ao derivar em relação a x trata-se y como constante, e vice-versa.
  • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=u_x v + u v_x,
e análogamente para derivação em y.
Como f é soma de monômios, basta aplicar a regra do poder em cada monômio.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x,y)=x^{4}y^{3}+x^{2}y^{5}.
Derivando em x (mantendo y constante):
\partial_x f = 4x^{3}y^{3} + 2x y^{5}.
Derivando em y (mantendo x constante):
\partial_y f = 3x^{4}y^{2} + 5x^{2}y^{4}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem, a partir das primeiras:
Derivando \partial_x f em x:
\partial_{x x} f = \partial_x(4x^{3}y^{3} + 2x y^{5}) = 12x^{2}y^{3} + 2y^{5}.
Derivando \partial_x f em y:
\partial_{x y} f = \partial_y(4x^{3}y^{3} + 2x y^{5}) = 12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}.
Derivando \partial_y f em x (verificação de consistência):
\partial_{y x} f = \partial_x(3x^{4}y^{2} + 5x^{2}y^{4}) = 12x^{3}y^{2} + 10x y^{4},
que coincide com \partial_{x y} f (como esperado para funções suficientemente suaves).
Derivando \partial_y f em y:
\partial_{y y} f = \partial_y(3x^{4}y^{2} + 5x^{2}y^{4}) = 6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}.

Passo 5

Agora calculo todas as derivadas de terceira ordem. Vou partir das segundas derivadas já obtidas e derivar conforme necessário.
  1. A partir de \partial_{x x} f = 12x^{2}y^{3} + 2y^{5}:
\partial_{x x x} f = \partial_x(12x^{2}y^{3} + 2y^{5}) = 24x y^{3}.
\partial_{x x y} f = \partial_y(12x^{2}y^{3} + 2y^{5}) = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
  1. A partir de \partial_{x y} f = 12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}:
\partial_{x y x} f = \partial_x(12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}) = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
\partial_{x y y} f = \partial_y(12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}) = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
  1. A partir de \partial_{y y} f = 6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}:
\partial_{y y y} f = \partial_y(6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}) = 6x^{4} + 60x^{2}y^{2}.
\partial_{y y x} f = \partial_x(6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}) = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
  1. A partir de \partial_{y x} f = 12x^{3}y^{2} + 10x y^{4} (já calculada):
\partial_{y x x} f = \partial_x(12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}) = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
\partial_{y x y} f = \partial_y(12x^{3}y^{2} + 10x y^{4}) = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
Resumo dos resultados de ordem 3 (extraído dos cálculos acima):
  • \partial_{x x x} f = 24x y^{3}.
  • \partial_{x x y} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
  • \partial_{x y x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
  • \partial_{y x x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
  • \partial_{x y y} f = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
  • \partial_{y x y} f = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
  • \partial_{y y x} f = 24x^{3}y + 40x y^{3}.
  • \partial_{y y y} f = 6x^{4} + 60x^{2}y^{2}.

Passo 6

Verificação da igualdade pedida:
\partial_{x y x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}, \qquad \partial_{x x y} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}, \qquad \partial_{y x x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}.
Portanto as três são iguais ponto a ponto. Explicação conceitual curta: f é polinomial (logo tem derivadas parciais contínuas de todas as ordens), e pelo teorema de igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz / Clairaut) as derivadas parciais mistas coincidem quando as derivadas apropriadas são contínuas — por isso as permutações na ordem dão o mesmo resultado.

Passo 7

Sobre \partial_{x y x y} f e \partial_{y y x x} f: são derivadas de quarta ordem. Posso calculá-las explicitamente a partir dos resultados de ordem 3.
A partir de \partial_{x y x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}, derivando em y:
\partial_{x y x y} f = \partial_y(36x^{2}y^{2} + 10y^{4}) = 72x^{2}y + 40y^{3}.
A partir de \partial_{y y} f = 6x^{4}y + 20x^{2}y^{3}, derivando duas vezes em x:
\partial_{y y x} f = 24x^{3}y + 40x y^{3}, \qquad \partial_{y y x x} f = \partial_x(24x^{3}y + 40x y^{3}) = 72x^{2}y + 40y^{3}.
Portanto
\partial_{x y x y} f = \partial_{y y x x} f = 72x^{2}y + 40y^{3}.
Novamente, igualdade consequência do mesmo princípio de permutação de derivadas mistas para funções suaves (aqui f é polinomial).

Resposta

\partial_{x x x} f = 24x y^{3}
\partial_{x x y} f = \partial_{x y x} f = \partial_{y x x} f = 36x^{2}y^{2} + 10y^{4}
\partial_{x y y} f = \partial_{y x y} f = \partial_{y y x} f = 24x^{3}y + 40x y^{3}
\partial_{y y y} f = 6x^{4} + 60x^{2}y^{2}
\partial_{x y x y} f = \partial_{y y x x} f = 72x^{2}y + 40y^{3}

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