Verifique se a conclusăo do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{0 y}=u_{y p}.
u=\ln (x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para
u(x,y)=\ln(x+2y),
vale a igualdade dos mistos segundo o Teorema de Clairaut, isto é,
u_{xy} = u_{yx}.
Vamos primeiro identificar a região de interesse e garantir que u é duas vezes diferenciável ali. A condição x+2y>0 mantém a função bem definida e suas derivadas contínuas, então podemos aplicar o teorema.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x.
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\ln(x+2y) = \frac{1}{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y) = \frac{1}{x+2y}\cdot1 = \frac{1}{x+2y}.

Passo 3

Calcular a derivada mista u_{xy}, ou seja, derivar u_x em relação a y.
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{1}{x+2y}\Bigr) = -\frac{1}{(x+2y)^2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y) = -\frac{1}{(x+2y)^2}\cdot2 = -\frac{2}{(x+2y)^2}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de u em relação a y.
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\ln(x+2y) = \frac{1}{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y) = \frac{1}{x+2y}\cdot2 = \frac{2}{x+2y}.

Passo 5

Calcular a derivada mista u_{yx}, ou seja, derivar u_y em relação a x.
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{2}{x+2y}\Bigr) = 2 \cdot\Bigl(-\frac{1}{(x+2y)^2}\Bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y) = -\frac{2}{(x+2y)^2}\cdot1 = -\frac{2}{(x+2y)^2}.

Passo 6

Comparando os dois resultados:
u_{xy} = -\frac{2}{(x+2y)^2}, \qquad u_{yx} = -\frac{2}{(x+2y)^2}.
Eles são iguais em toda a região x+2y>0, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut.

Resposta

Sim. Para u(x,y)=\ln(x+2y) vale
u_{xy}=u_{yx}=-\frac{2}{(x+2y)^2}.

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