Verifique se a conclusăo do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, para
vale a igualdade dos mistos segundo o Teorema de Clairaut, isto é,
Vamos primeiro identificar a região de interesse e garantir que
é duas vezes diferenciável ali. A condição
mantém a função bem definida e suas derivadas contínuas, então podemos aplicar o teorema.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calcular a derivada mista
, ou seja, derivar
em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 5
Calcular a derivada mista
, ou seja, derivar
em relação a
.
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Eles são iguais em toda a região
, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut.
Resposta
Sim. Para
vale