Parametrize
e use a parametrização para calcular a integral de linha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente parametrizar a curva $ C $ e, usando essa parametrização, calcular a integral de linha:
Então, vamos precisar entender sobre parametrização de curvas no espaço e como aplicar isso para calcular integrais de linha. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a curva $ C $. Como o enunciado não especifica, vou supor que $ C $ seja uma curva fechada simples, como um círculo ou uma elipse no espaço tridimensional. Para facilitar, vou considerar que $ C $ é um círculo no plano $ xy $ com raio $ R $, centrado na origem, e podemos estender isso para o espaço.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva $ C $. Supondo que $ C $ seja um círculo no plano $ xy $, a parametrização pode ser feita usando coordenadas polares:
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar a volta no círculo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas das funções de parametrização em relação a $ t $:
Essas derivadas representam as componentes das derivadas vetoriais $ \mathbf{r}’(t) $.
Passo 5
Substituímos as parametrizações e as derivadas na integral de linha. A integral fica:
Substituindo $ x = R \cos t $, $ y = R \sin t $, $ z = 0 $, e as derivadas:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral:
Podemos usar a identidade $ \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t $, então:
Passo 8
Calculamos os limites da integral:
Resposta
A integral de linha $ I $ ao longo da curva $ C $ é igual a zero: