Parametrize C e use a parametrização para calcular a integral de linha
I=ointC x z d x+y d y+y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente parametrizar a curva $ C $ e, usando essa parametrização, calcular a integral de linha:
C
Então, vamos precisar entender sobre parametrização de curvas no espaço e como aplicar isso para calcular integrais de linha. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a curva $ C $. Como o enunciado não especifica, vou supor que $ C $ seja uma curva fechada simples, como um círculo ou uma elipse no espaço tridimensional. Para facilitar, vou considerar que $ C $ é um círculo no plano $ xy $ com raio $ R $, centrado na origem, e podemos estender isso para o espaço.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva $ C $. Supondo que $ C $ seja um círculo no plano $ xy $, a parametrização pode ser feita usando coordenadas polares:
C
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar a volta no círculo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas das funções de parametrização em relação a $ t $:
t
Essas derivadas representam as componentes das derivadas vetoriais $ \mathbf{r}’(t) $.

Passo 5

Substituímos as parametrizações e as derivadas na integral de linha. A integral fica:
I = integral0^2pi [ x z dxdt + y dydt + y dzdt ] dt
Substituindo $ x = R \cos t $, $ y = R \sin t $, $ z = 0 $, e as derivadas:
x = R cos t

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
I = integral0^2pi [ 0 + R^2 sin t cos t + 0 ] dt = R^2 integral0^2pi sin t cos t , dt

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
integral sin t cos t , dt
Podemos usar a identidade $ \sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin 2t $, então:
sin t cos t = 12 sin 2t

Passo 8

Calculamos os limites da integral:
R^22 ( -12 cos (4pi) + 12 cos 0 ) = R^22 ( -12(1) + 12(1) ) = R^22 (0) = 0

Resposta

A integral de linha $ I $ ao longo da curva $ C $ é igual a zero:
I

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