Uma fábrica adota uma tecnologia com elasticidade de substituição constante (CES), descrita por
q=\left(K^{\rho}+L^{\rho}\right)^{1 / \rho}, \quad \rho \in(-\infty, 1) \backslash\{0\}
Para atingir q=50, a firma enfrenta preços dos fatores w (trabalho) e r (capital).
(a) Resolva o problema de minimização de custos para obter as demandas condicionais K^{*}(w, r, q) e L^{*}(w, r, q).
(b) Derive a função custo C(w, r, q).
(c) Discuta como o parâmetro \rho altera a substituibilidade entre fatores e interprete economicamente.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Função de produção (tecnologia) dada por
q=\left(K^{\rho}+L^{\rho}\right)^{1/\rho},\qquad \rho\in(-\infty,1)\setminus\{0\}.
  • A firma deseja atingir uma quantidade fixa q (o enunciado menciona q=50, mas a resolução funciona para qualquer q>0).
  • Preços dos fatores: w para trabalho L e r para capital K.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar as demandas condicionais K^{*}(w,r,q) e L^{*}(w,r,q) que minimizam o custo dado q.
    (b) Derivar a função custo C(w,r,q).
    (c) Discutir como o parâmetro \rho altera a substituibilidade entre fatores e interpretar economicamente.
Informações relevantes que usarei: objetivo é minimizar o custo total wL+rK sujeito à restrição tecnológica q=\big(K^{\rho}+L^{\rho}\big)^{1/\rho}. Vou aplicar o método do multiplicador de Lagrange e interpretar os resultados.

Passo 2

Montar o problema bem explícito e o Lagrangiano.
Problema de minimização:
\min_{K\ge0,L\ge0}\; C = wL + rK
sujeito a
\left(K^{\rho}+L^{\rho}\right)^{1/\rho}=q \quad\Longleftrightarrow\quad K^{\rho}+L^{\rho}=q^{\rho}.
Defino o multiplicador de Lagrange \lambda e o Lagrangiano
\mathcal{L}(K,L,\lambda)=wL + rK + \lambda\big(q^{\rho}-K^{\rho}-L^{\rho}\big).
Explico: \lambda é a taxa marginal de custo (o valor sombra) associada ao aumento da restrição de produção; as primeiras ordens de \mathcal{L} vão dar condições necessárias para o mínimo.

Passo 3

Obter as condições de primeira ordem (FOC) e interpretá-las.
Calculo as derivadas parciais e igualo a zero:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}=r-\lambda\,\rho\,K^{\rho-1}=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}=w-\lambda\,\rho\,L^{\rho-1}=0,
e a restrição
K^{\rho}+L^{\rho}=q^{\rho}.
Das duas primeiras equações posso isolar \lambda:
\lambda=\frac{r}{\rho\,K^{\rho-1}}=\frac{w}{\rho\,L^{\rho-1}}.
Igualando as duas expressões para \lambda (cancelando \rho pois \rho\neq0) obtenho a condição de relação entre K e L:
\frac{r}{K^{\rho-1}}=\frac{w}{L^{\rho-1}} \quad\Longrightarrow\quad r\,K^{1-\rho}=w\,L^{1-\rho}.
Reescrevendo,
\left(\frac{K}{L}\right)^{1-\rho}=\frac{w}{r}.
Isto é intuitivo: a razão marginal de substituição técnica (relacionada à inclinação das isoquantas) é igual à razão de preços. Agora isolo \dfrac{K}{L}:
\frac{K}{L}=\left(\frac{w}{r}\right)^{\frac{1}{1-\rho}}.

Passo 4

Expressar K e L em função de q,w,r,\rho (resolver a restrição usando a relação de preços).
Defino
\varphi\equiv\left(\frac{w}{r}\right)^{\frac{1}{1-\rho}},
então K=\varphi L. Substituo na restrição K^{\rho}+L^{\rho}=q^{\rho}:
(\varphi L)^{\rho}+L^{\rho}=L^{\rho}\big(\varphi^{\rho}+1\big)=q^{\rho}.
Logo
L^{\rho}=\frac{q^{\rho}}{1+\varphi^{\rho}} \quad\Longrightarrow\quad L=q\,(1+\varphi^{\rho})^{-1/\rho}.
E como K=\varphi L,
K=q\,\frac{\varphi}{(1+\varphi^{\rho})^{1/\rho}}.
Agora volto a substituir \varphi por sua definição em w,r,\rho. Lembrando \varphi^{\rho}=\big((w/r)^{1/(1-\rho)}\big)^{\rho}=(w/r)^{\rho/(1-\rho)}. Assim as demandas condicionais ficam:
L^{*}(w,r,q) = q\,\bigg(1+\Big(\dfrac{w}{r}\Big)^{\frac{\rho}{1-\rho}}\bigg)^{-1/\rho},
K^{*}(w,r,q) = q\,\bigg(\dfrac{w}{r}\bigg)^{\frac{1}{1-\rho}}\bigg(1+\Big(\dfrac{w}{r}\Big)^{\frac{\rho}{1-\rho}}\bigg)^{-1/\rho}.
Comentário pedagógico: aqui foi usada somente a condição de igualar razões marginais (preço relativo = taxa marginal de substituição) e a restrição de quantidade; procedimento padrão em problemas de custo mínimo. Note que K^{*} e L^{*} são proporcionais a q (tecnologia homogênea de grau 1).

Passo 5

Derivar a função custo C(w,r,q)=wL^{*}+rK^{*} e simplificar para uma forma simétrica.
Começo substituindo K^{*} e L^{*} na expressão do custo:
C(w,r,q)=wL^{*}+rK^{*} = q\,(1+\varphi^{\rho})^{-1/\rho}\big(w + r\varphi\big).
Agora faço manipulações algébricas para transformar essa expressão em uma forma simétrica em w e r. É útil conhecer a identidade padrão para agregadores CES: o custo unitário (custo por unidade de q) é a norma dual dos preços. Aplico essa transformação:
Defino o expoente
s\equiv\frac{\rho}{\rho-1}.
Observe que \dfrac{1}{s}=\dfrac{\rho-1}{\rho}. Uma forma compacta e usual para a função custo é
C(w,r,q)=q\left(w^{\frac{\rho}{\rho-1}}+r^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}}.
Para dar um mínimo de verificação algebraica (sem pular passos importantes): se denotar c(w,r) o custo por unidade ( C=q\,c), a minimização unitária é
c=\min_{a^{\rho}+b^{\rho}=1}(wa+rb).
Pelo fato de que os p-norms têm norma dual com expoente s=\rho/(\rho-1), o mínimo é
c=\big(w^{s}+r^{s}\big)^{1/s},
isto é exatamente
c=\big(w^{\frac{\rho}{\rho-1}}+r^{\frac{\rho}{\rho-1}}\big)^{\frac{\rho-1}{\rho}}.
Multiplicando por q obtemos C(w,r,q)=q\,c como acima. Esta é a forma canônica e simétrica da função custo CES.

Passo 6

Explicação didática sobre interpretações e propriedades (homogeneidade, proporcionalidade).
  • Homogeneidade: tanto K^{*} quanto L^{*} são homogeneas de grau 1 em q, logo C(w,r,q) é homogênea de grau 1 em q (isto é, C(w,r,q)=q\,C(w,r,1)). Economicamente: dobrar q dobra as necessidades de fatores e o custo.
  • Significado do multiplicador \lambda: da FOC, \lambda=\dfrac{r}{\rho K^{\rho-1}}=\dfrac{w}{\rho L^{\rho-1}}; \lambda é a variação marginal do custo quando se aumenta a restrição q^{\rho}, relaciona-se com o custo marginal técnico.

Passo 7

Discutir como \rho altera a substituibilidade entre fatores e interpretar economicamente (parte (c)).
  • Definição útil: a elasticidade de substituição entre K e L para a família CES dada é
\sigma=\frac{1}{1-\rho}.
Explico: \sigma mede a porcentagem de variação da razão K/L quando a taxa marginal de substituição técnica (ou a razão de preços) varia em 1%. Para a nossa parametrização CES, a relação analítica é essa e deriva da forma funcional escolhida.
  • Limites e interpretações:
    • Se \rho\to 0 então \sigma\to 1. Esse caso corresponde ao caso limite Cobb–Douglas (elasticidade de substituição igual a 1): fatores são substituíveis com elasticidade constante 1.
    • Se \rho\to 1 então \sigma\to\infty: fatores tornam-se praticamente perfeitos substitutos (pode trocar K por L quase livremente conforme preços).
    • Se \rho\to -\infty então \sigma\to 0: fatores tornam-se quase complementos perfeitos (Leontief), pouca ou nenhuma substituição possível entre K e L.
  • Interpretação econômica direta: quanto maior \rho (próximo de 1), maior \sigma e mais fácil é substituir capital por trabalho quando um fica mais caro; quanto menor \rho (grande negativo), menor \sigma e mais rígida é a combinação: reduzir uso de um fator sem reduzir produção requer aumentar muito o outro — isto caracteriza complementaridade forte.

Resposta

(a) K^{*}(w,r,q)=q\,\left(\dfrac{w}{r}\right)^{\frac{1}{1-\rho}}\left(1+\Big(\dfrac{w}{r}\Big)^{\frac{\rho}{1-\rho}}\right)^{-1/\rho}, \qquad L^{*}(w,r,q)=q\,\left(1+\Big(\dfrac{w}{r}\Big)^{\frac{\rho}{1-\rho}}\right)^{-1/\rho}.
(b) C(w,r,q)=q\left(w^{\frac{\rho}{\rho-1}}+r^{\frac{\rho}{\rho-1}}\right)^{\frac{\rho-1}{\rho}}.
(c) \sigma=\frac{1}{1-\rho}.
Interpretação: \rho determina a elasticidade de substituição \sigma. Valores de \rho próximos de 1 implicam \sigma grande (fatores quase substitutos perfeitos); \rho=0 \sigma=1 (Cobb–Douglas); \rho\to -\infty \sigma\to0 (fatores quase complementos perfeitos).

Exercícios relacionados