Uma fábrica adota uma tecnologia com elasticidade de substituição constante (CES), descrita por
Para atingir
, a firma enfrenta preços dos fatores
(trabalho) e
(capital).
(a) Resolva o problema de minimização de custos para obter as demandas condicionais
e
.
(b) Derive a função custo
.
(c) Discuta como o parâmetro
altera a substituibilidade entre fatores e interprete economicamente.
(a) Resolva o problema de minimização de custos para obter as demandas condicionais
(b) Derive a função custo
(c) Discuta como o parâmetro
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro):
- Função de produção (tecnologia) dada por
- A firma deseja atingir uma quantidade fixa
(o enunciado menciona , mas a resolução funciona para qualquer ). - Preços dos fatores:
para trabalho e para capital . - Perguntas:
(a) Encontrar as demandas condicionaise que minimizam o custo dado .
(b) Derivar a função custo.
(c) Discutir como o parâmetroaltera a substituibilidade entre fatores e interpretar economicamente.
Informações relevantes que usarei: objetivo é minimizar o custo total
sujeito à restrição tecnológica
. Vou aplicar o método do multiplicador de Lagrange e interpretar os resultados.
Passo 2
Montar o problema bem explícito e o Lagrangiano.
Problema de minimização:
sujeito a
Defino o multiplicador de Lagrange
e o Lagrangiano
Explico:
é a taxa marginal de custo (o valor sombra) associada ao aumento da restrição de produção; as primeiras ordens de
vão dar condições necessárias para o mínimo.
Passo 3
Obter as condições de primeira ordem (FOC) e interpretá-las.
Calculo as derivadas parciais e igualo a zero:
e a restrição
Das duas primeiras equações posso isolar
:
Igualando as duas expressões para
(cancelando
pois
) obtenho a condição de relação entre
e
:
Reescrevendo,
Isto é intuitivo: a razão marginal de substituição técnica (relacionada à inclinação das isoquantas) é igual à razão de preços. Agora isolo
:
Passo 4
Expressar
e
em função de
(resolver a restrição usando a relação de preços).
Defino
então
. Substituo na restrição
:
Logo
E como
,
Agora volto a substituir
por sua definição em
. Lembrando
. Assim as demandas condicionais ficam:
Comentário pedagógico: aqui foi usada somente a condição de igualar razões marginais (preço relativo = taxa marginal de substituição) e a restrição de quantidade; procedimento padrão em problemas de custo mínimo. Note que
e
são proporcionais a
(tecnologia homogênea de grau 1).
Passo 5
Derivar a função custo
e simplificar para uma forma simétrica.
Começo substituindo
e
na expressão do custo:
Agora faço manipulações algébricas para transformar essa expressão em uma forma simétrica em
e
. É útil conhecer a identidade padrão para agregadores CES: o custo unitário (custo por unidade de
) é a norma dual dos preços. Aplico essa transformação:
Defino o expoente
Observe que
. Uma forma compacta e usual para a função custo é
Para dar um mínimo de verificação algebraica (sem pular passos importantes): se denotar
o custo por unidade (
), a minimização unitária é
Pelo fato de que os p-norms têm norma dual com expoente
, o mínimo é
isto é exatamente
Multiplicando por
obtemos
como acima. Esta é a forma canônica e simétrica da função custo CES.
Passo 6
Explicação didática sobre interpretações e propriedades (homogeneidade, proporcionalidade).
- Homogeneidade: tanto
quanto são homogeneas de grau 1 em , logo é homogênea de grau 1 em (isto é, ). Economicamente: dobrar dobra as necessidades de fatores e o custo. - Significado do multiplicador
: da FOC, ; é a variação marginal do custo quando se aumenta a restrição , relaciona-se com o custo marginal técnico.
Passo 7
Discutir como
altera a substituibilidade entre fatores e interpretar economicamente (parte (c)).
- Definição útil: a elasticidade de substituição entre
e para a família CES dada é
Explico:
mede a porcentagem de variação da razão
quando a taxa marginal de substituição técnica (ou a razão de preços) varia em 1%. Para a nossa parametrização CES, a relação analítica é essa e deriva da forma funcional escolhida.
-
Limites e interpretações:
- Se
então . Esse caso corresponde ao caso limite Cobb–Douglas (elasticidade de substituição igual a 1): fatores são substituíveis com elasticidade constante 1. - Se
então : fatores tornam-se praticamente perfeitos substitutos (pode trocar por quase livremente conforme preços). - Se
então : fatores tornam-se quase complementos perfeitos (Leontief), pouca ou nenhuma substituição possível entre e .
- Se
-
Interpretação econômica direta: quanto maior
(próximo de 1), maior e mais fácil é substituir capital por trabalho quando um fica mais caro; quanto menor (grande negativo), menor e mais rígida é a combinação: reduzir uso de um fator sem reduzir produção requer aumentar muito o outro — isto caracteriza complementaridade forte.
Resposta
(a)
(b)
(c)
Interpretação:
determina a elasticidade de substituição
. Valores de
próximos de 1 implicam
grande (fatores quase substitutos perfeitos);
dá
(Cobb–Douglas);
dá
(fatores quase complementos perfeitos).