Um setor de produção opera com tecnologia Cobb-Douglas
(a) Resolva o problema dual de minimização de custos e derive a função custo indireta
.
(b) Verifique se
é homogênea de grau 1 em (
).
(c) Relacione o resultado ao Lema de Shephard e discuta implicações para Engenharia de Produção.
(b) Verifique se
(c) Relacione o resultado ao Lema de Shephard e discuta implicações para Engenharia de Produção.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
- Função de produção:
. - Variáveis e parâmetros fornecidos:
(capital), (trabalho), (preço do capital), (salário) e (nível de produção desejado). - Objetivos:
(a) Resolver o problema dual de minimização de custos e derivar a função custo indireta.
(b) Verificar seé homogênea de grau 1 em .
(c) Relacionar o resultado ao Lema de Shephard e discutir implicações para Engenharia de Produção.
Observação útil que já vem do dado: os expoentes
e
somam igual a
(ou seja,
). Isso será importante na resolução.
Passo 2
Vou formular o problema dual (minimização de custos) e explicar por que usamos igualdades:
- Problema: minimizar o custo total dado pelos preços dos fatores, sujeito a produzir exatamente
. Como mais insumo só aumenta custo e a produção é crescente em ambos os insumos, a restrição de produção é tomada como igualdade. - Escrevendo:
Explicação do método (Lagrange) de forma direta e intuitiva: a técnica de multiplicadores de Lagrange permite incorporar a restrição
no objetivo somando um termo com multiplicador
. O multiplicador
representa a variação do custo mínimo quando se aumenta um pouco a produção (intuitivamente, o custo marginal de produzir mais).
Formo a função Lagrangiana:
Passo 3
Vou escrever e interpretar as condições de primeira ordem (FOC). Derivo parcialmente a Lagrangiana em relação a
,
e
:
- Derivada em relação a
:
Isto implica
- Derivada em relação a
:
Isto implica
- Derivada em relação a
(a restrição):
Essas três equações são o sistema que determina
.
Passo 4
Vou eliminar
para obter uma relação entre
e
. Divido as duas equações das FOC (a de
por aquela de
):
Rearranjando:
Logo
Isso dá a razão ótima
em termos de preços e coeficientes. É uma forma concreta de dizer: o mix ótimo entre capital e trabalho depende das razões dos preços
e dos expoentes da função de produção.
Passo 5
Agora uso a razão
para eliminar uma variável na restrição de produção e achar
e
em função de
.
Defino
e
para escrever de modo mais legível (lembrando
). A razão ficou
Posso escrever então
. Substituo na restrição
:
onde usei
. Assim:
Pela relação
, uma forma simétrica para
é
Portanto as demandas condicionais (órgãos ótimos de
e
dado
) são:
Se quiser, substituindo
e
temos explicitamente:
Passo 6
Agora calculo o custo mínimo substituindo
e
em
. Existe um atalho elegante que evita algebra pesada: multiplicando as condições de primeira ordem por
e
, obtemos relações úteis.
Das FOC:
Somando:
pois
. Assim
. Além disso, das igualdades acima:
Substituo essas expressões na restrição de produção
:
Isto dá
Como
, temos
Voltando aos números
,
, a função custo indireta fica:
Esse é o resultado fechado para (a). (Se quiser, pode-se também escrever as demandas condicionais usando
e
— que coincidem com as fórmulas que obtivemos no passo anterior.)
Passo 7
Verificação de homogeneidade de grau 1 em
(questão (b)):
Tomemos um escalar
e multipliquemos os preços por
. Avalio
:
pois
. Portanto
é homogênea de grau
em
. Em palavras: se ambos os preços dos fatores dobram, o custo mínimo dobra — intuitivo e importante para análise de preços relativos.
Passo 8
Lema de Shephard e verificação (questão (c), parte técnica):
O Lema de Shephard diz que as demandas condicionais por fatores são obtidas como derivadas parciais da função custo mínimo:
Vou derivar
em relação a
e
:
- Derivada em relação a
:
(As igualdades intermediárias seguem da simplificação algébrica usando
.)
- Derivada em relação a
:
Portanto Shephard está satisfeito: derivadas da função custo reapresentam exatamente as demandas condicionais que já tínhamos obtido. Isso é uma verificação direta e útil.
Passo 9
Discussão interpretativa e implicações para Engenharia de Produção (linguagem direta e prática):
- Retornos de escala e custo unitário: como
, há retornos constantes à escala. Consequência prática: o custo total é linear em (isto é, é proporcional a ), então o custo médio é independente da escala de produção. Para planejamento, isso significa que aumentar a produção não muda o custo médio por unidade (na tecnologia corrente). - Participação dos fatores no custo: das relações
e segue que as parcelas de custo associadas ao capital e ao trabalho são constantes e iguais aos expoentes e . Aqui, do custo total vai para capital e para trabalho, independentemente do nível . Em engenharia de produção, isso facilita projeções orçamentárias: conhecendo e , sabe-se as participações fixas no custo. - Sensibilidade a preços: pela forma logarítmica de
(logs dão somas), a elasticidade do custo em relação a é e em relação a é . Ou seja, um aumento percentual de eleva o custo em aproximadamente vezes esse percentual. Isso orienta decisões de compra, negociação de insumos e avaliação de impacto de choques de preço. - Uso prático do Lema de Shephard: projetar a função custo (via estimativas econométricas ou engenharia) permite recuperar as demandas condicionais por insumo como derivadas, sem ter que estimar diretamente as funções de demanda. Útil em otimização de processos e planejamento de insumos.
- Implicação para inovação/engenharia: alterar a tecnologia (mudar
) altera tanto a alocação ótima de fatores quanto o custo unitário. Investimentos em inovação que mudem os expoentes (por exemplo, automação que aumenta a produtividade relativa do capital) impactam diretamente a participação de custos e a sensibilidade a preços. - Nota prática final: esse modelo é idealizado (p.ex. fatores perfeitamente divisíveis, mercado competitivo de fatores). Na prática, verifique restrições de capacidade, indivisibilidades ou agrupamentos de insumos; mas o resultado fornece um guia analítico muito útil para dimensionamento, negociação de preços e análises de sensibilidade.
Força aí — com essa derivação pronta, na prova é só reproduzir os passos do Lagrange, apontar a soma dos expoentes e usar o atalho das multiplicações por
e
para achar
rapidamente.
Resposta
(a)
(b) Sim.
para todo
, logo
é homogênea de grau
em
.
(c) Pelo Lema de Shephard,
e
; as demandas condicionais obtidas são
e
. Implicações: participações de custo constantes (
,
), custo unitário constante com escala (retornos constantes), e sensibilidade do custo a
e
igual a
e
, respectivamente — informações úteis para planejamento, negociação de insumos e projeto de processos em Engenharia de Produção.