Um setor de produção opera com tecnologia Cobb-Douglas
q=K^{0,4} L^{0,6}
(a) Resolva o problema dual de minimização de custos e derive a função custo indireta C(w, r, q).
(b) Verifique se C(w, r, q) é homogênea de grau 1 em ( w, r ).
(c) Relacione o resultado ao Lema de Shephard e discuta implicações para Engenharia de Produção.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • Função de produção: \;q = K^{0,4} L^{0,6}.
  • Variáveis e parâmetros fornecidos: K (capital), L (trabalho), r (preço do capital), w (salário) e q (nível de produção desejado).
  • Objetivos:
    (a) Resolver o problema dual de minimização de custos e derivar a função custo indireta C(w,r,q).
    (b) Verificar se C(w,r,q) é homogênea de grau 1 em (w,r).
    (c) Relacionar o resultado ao Lema de Shephard e discutir implicações para Engenharia de Produção.
Observação útil que já vem do dado: os expoentes 0,4 e 0,6 somam igual a 1 (ou seja, \,0,4+0,6=1). Isso será importante na resolução.

Passo 2

Vou formular o problema dual (minimização de custos) e explicar por que usamos igualdades:
  • Problema: minimizar o custo total dado pelos preços dos fatores, sujeito a produzir exatamente q. Como mais insumo só aumenta custo e a produção é crescente em ambos os insumos, a restrição de produção é tomada como igualdade.
  • Escrevendo:
\min_{K,L} \; C = rK + wL \qquad\text{sujeito a}\qquad K^{0,4}L^{0,6}=q.
Explicação do método (Lagrange) de forma direta e intuitiva: a técnica de multiplicadores de Lagrange permite incorporar a restrição K^{0,4}L^{0,6}=q no objetivo somando um termo com multiplicador \lambda. O multiplicador \lambda representa a variação do custo mínimo quando se aumenta um pouco a produção (intuitivamente, o custo marginal de produzir mais).
Formo a função Lagrangiana:
\mathcal{L}(K,L,\lambda)= rK + wL + \lambda\big(q - K^{0,4}L^{0,6}\big).

Passo 3

Vou escrever e interpretar as condições de primeira ordem (FOC). Derivo parcialmente a Lagrangiana em relação a K, L e \lambda:
  • Derivada em relação a K:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}= r - \lambda\cdot 0,4\,K^{-0,6}L^{0,6}=0.
Isto implica
r = \lambda\cdot 0,4\,K^{-0,6}L^{0,6}.
  • Derivada em relação a L:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}= w - \lambda\cdot 0,6\,K^{0,4}L^{-0,4}=0.
Isto implica
w = \lambda\cdot 0,6\,K^{0,4}L^{-0,4}.
  • Derivada em relação a \lambda (a restrição):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}= q - K^{0,4}L^{0,6}=0.
Essas três equações são o sistema que determina K,L,\lambda.

Passo 4

Vou eliminar \lambda para obter uma relação entre K e L. Divido as duas equações das FOC (a de r por aquela de w):
\frac{r}{w} = \frac{\lambda\cdot 0,4\,K^{-0,6}L^{0,6}}{\lambda\cdot 0,6\,K^{0,4}L^{-0,4}} = \frac{0,4}{0,6}\cdot K^{-1}\cdot L^{1}.
Rearranjando:
\frac{r}{w} = \frac{0,4}{0,6}\cdot\frac{L}{K}.
Logo
\frac{K}{L} = \frac{w\cdot 0,4}{r\cdot 0,6}.
Isso dá a razão ótima K/L em termos de preços e coeficientes. É uma forma concreta de dizer: o mix ótimo entre capital e trabalho depende das razões dos preços w/r e dos expoentes da função de produção.

Passo 5

Agora uso a razão K/L para eliminar uma variável na restrição de produção e achar K e L em função de (w,r,q).
Defino \alpha=0,4 e \beta=0,6 para escrever de modo mais legível (lembrando \alpha+\beta=1). A razão ficou
\frac{K}{L}=\frac{w\alpha}{r\beta}.
Posso escrever então K = L\cdot \dfrac{w\alpha}{r\beta}. Substituo na restrição K^{\alpha}L^{\beta}=q:
\Big(L\cdot \frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\alpha} L^{\beta} = \Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\alpha} L^{\alpha+\beta} = \Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\alpha} L = q,
onde usei \alpha+\beta=1. Assim:
L = q \Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{-\alpha} = q \Big(\frac{r\beta}{w\alpha}\Big)^{\alpha}.
Pela relação K = \dfrac{w\alpha}{r\beta} L, uma forma simétrica para K é
K = q \Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\beta}.
Portanto as demandas condicionais (órgãos ótimos de K e L dado q) são:
K^*(w,r,q)= q\Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\beta}, \qquad L^*(w,r,q)= q\Big(\frac{r\beta}{w\alpha}\Big)^{\alpha}.
Se quiser, substituindo \alpha=0,4 e \beta=0,6 temos explicitamente:
K^*(w,r,q)= q\Big(\frac{0,4\,w}{0,6\,r}\Big)^{0,6}, \qquad L^*(w,r,q)= q\Big(\frac{0,6\,r}{0,4\,w}\Big)^{0,4}.

Passo 6

Agora calculo o custo mínimo substituindo K^* e L^* em C=rK+wL. Existe um atalho elegante que evita algebra pesada: multiplicando as condições de primeira ordem por K e L, obtemos relações úteis.
Das FOC:
rK = \lambda\alpha K^{\alpha}L^{\beta} = \lambda\alpha q, \qquad wL = \lambda\beta K^{\alpha}L^{\beta} = \lambda\beta q.
Somando:
C = rK + wL = \lambda(\alpha+\beta) q = \lambda q,
pois \alpha+\beta=1. Assim \lambda = C/q. Além disso, das igualdades acima:
K = \frac{\alpha C}{r},\qquad L=\frac{\beta C}{w}.
Substituo essas expressões na restrição de produção K^{\alpha}L^{\beta}=q:
\Big(\frac{\alpha C}{r}\Big)^{\alpha}\Big(\frac{\beta C}{w}\Big)^{\beta} = q.
Isto dá
C^{\alpha+\beta}\cdot \alpha^{\alpha}\beta^{\beta}\cdot r^{-\alpha} w^{-\beta} = q.
Como \alpha+\beta=1, temos
C = q\cdot \frac{r^{\alpha} w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}}.
Voltando aos números \alpha=0,4, \beta=0,6, a função custo indireta fica:
\boxed{\,C(w,r,q)= q\cdot \dfrac{r^{0,4}\,w^{0,6}}{0,4^{\,0,4}\,0,6^{\,0,6}}\, }.
Esse é o resultado fechado para (a). (Se quiser, pode-se também escrever as demandas condicionais usando K=\alpha C/r e L=\beta C/w — que coincidem com as fórmulas que obtivemos no passo anterior.)

Passo 7

Verificação de homogeneidade de grau 1 em (w,r) (questão (b)):
Tomemos um escalar t>0 e multipliquemos os preços por t. Avalio C(tw,tr,q):
C(tw,tr,q) = q\cdot \frac{(tr)^{\alpha}(tw)^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = q\cdot t^{\alpha+\beta}\frac{r^{\alpha} w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = t\cdot q\cdot \frac{r^{\alpha} w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = t\,C(w,r,q),
pois \alpha+\beta=1. Portanto C(w,r,q) é homogênea de grau 1 em (w,r). Em palavras: se ambos os preços dos fatores dobram, o custo mínimo dobra — intuitivo e importante para análise de preços relativos.

Passo 8

Lema de Shephard e verificação (questão (c), parte técnica):
O Lema de Shephard diz que as demandas condicionais por fatores são obtidas como derivadas parciais da função custo mínimo:
\frac{\partial C}{\partial r}=K^*(w,r,q), \qquad \frac{\partial C}{\partial w}=L^*(w,r,q).
Vou derivar C(w,r,q)= q\cdot \dfrac{r^{\alpha} w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} em relação a r e w:
  • Derivada em relação a r:
\frac{\partial C}{\partial r} = q\cdot \frac{\alpha r^{\alpha-1} w^{\beta}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = q\Big(\frac{w\alpha}{r\beta}\Big)^{\beta} = K^*(w,r,q).
(As igualdades intermediárias seguem da simplificação algébrica usando \alpha+\beta=1.)
  • Derivada em relação a w:
\frac{\partial C}{\partial w} = q\cdot \frac{\beta r^{\alpha} w^{\beta-1}}{\alpha^{\alpha}\beta^{\beta}} = q\Big(\frac{r\beta}{w\alpha}\Big)^{\alpha} = L^*(w,r,q).
Portanto Shephard está satisfeito: derivadas da função custo reapresentam exatamente as demandas condicionais que já tínhamos obtido. Isso é uma verificação direta e útil.

Passo 9

Discussão interpretativa e implicações para Engenharia de Produção (linguagem direta e prática):
  • Retornos de escala e custo unitário: como \alpha+\beta=1, há retornos constantes à escala. Consequência prática: o custo total é linear em q (isto é, C é proporcional a q), então o custo médio C/q é independente da escala de produção. Para planejamento, isso significa que aumentar a produção não muda o custo médio por unidade (na tecnologia corrente).
  • Participação dos fatores no custo: das relações rK=\alpha C e wL=\beta C segue que as parcelas de custo associadas ao capital e ao trabalho são constantes e iguais aos expoentes \alpha e \beta. Aqui, 40\% do custo total vai para capital e 60\% para trabalho, independentemente do nível q. Em engenharia de produção, isso facilita projeções orçamentárias: conhecendo w e r, sabe-se as participações fixas no custo.
  • Sensibilidade a preços: pela forma logarítmica de C (logs dão somas), a elasticidade do custo em relação a r é \alpha e em relação a w é \beta. Ou seja, um aumento percentual de r eleva o custo em aproximadamente \alpha vezes esse percentual. Isso orienta decisões de compra, negociação de insumos e avaliação de impacto de choques de preço.
  • Uso prático do Lema de Shephard: projetar a função custo (via estimativas econométricas ou engenharia) permite recuperar as demandas condicionais por insumo como derivadas, sem ter que estimar diretamente as funções de demanda. Útil em otimização de processos e planejamento de insumos.
  • Implicação para inovação/engenharia: alterar a tecnologia (mudar \alpha,\beta) altera tanto a alocação ótima de fatores quanto o custo unitário. Investimentos em inovação que mudem os expoentes (por exemplo, automação que aumenta a produtividade relativa do capital) impactam diretamente a participação de custos e a sensibilidade a preços.
  • Nota prática final: esse modelo é idealizado (p.ex. fatores perfeitamente divisíveis, mercado competitivo de fatores). Na prática, verifique restrições de capacidade, indivisibilidades ou agrupamentos de insumos; mas o resultado fornece um guia analítico muito útil para dimensionamento, negociação de preços e análises de sensibilidade.
Força aí — com essa derivação pronta, na prova é só reproduzir os passos do Lagrange, apontar a soma dos expoentes e usar o atalho das multiplicações por K e L para achar C rapidamente.

Resposta

(a) C(w,r,q)= q\cdot \dfrac{r^{0,4}\,w^{0,6}}{0,4^{0,4}\,0,6^{0,6}}.
(b) Sim. C(tw,tr,q)=t\,C(w,r,q) para todo t>0, logo C é homogênea de grau 1 em (w,r).
(c) Pelo Lema de Shephard, \partial C/\partial r = K^*(w,r,q) e \partial C/\partial w = L^*(w,r,q); as demandas condicionais obtidas são K^*= q\big(\tfrac{0,4\,w}{0,6\,r}\big)^{0,6} e L^*= q\big(\tfrac{0,6\,r}{0,4\,w}\big)^{0,4}. Implicações: participações de custo constantes ( rK=\!0,4C, wL=\!0,6C), custo unitário constante com escala (retornos constantes), e sensibilidade do custo a r e w igual a 0,4 e 0,6, respectivamente — informações úteis para planejamento, negociação de insumos e projeto de processos em Engenharia de Produção.

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