Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, \mu litros por 100 quilômetros, com desvio padrão \sigma=1,2. Uma revista desconfia que o consumo é maior e resolve verificar essas afirmações. Para tal, analisou 35 automóveis dessa marca, obtendo consumo médio de 10,2 .
(26.1) Enuncie H_{0} e H_{1}
(26.2) Para \alpha=0,10, qual o valor de \mu_{0} tal que leve à rejeição de H_{0} ?
(26.3) Para \mu_{0}=9,8, qual o valor de \alpha tal que leve à aceitação de H_{0} ?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese unilateral à direita para a média de consumo \mu, com variância conhecida \sigma^2. Temos uma amostra de tamanho n=35, desvio padrão populacional \sigma=1,2 e média amostral \bar x=10,2. Vamos usar o teste Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n}).

Passo 2

Formulando as hipóteses para testar se o consumo é maior:
H_{0}:\mu=\mu_{0}
H_{1}:\mu>\mu_{0}

Passo 3

No nível de significância \alpha, rejeitamos H_{0} se
Z \;=\;\frac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}\;>\;z_{1-\alpha},
onde z_{1-\alpha} é o quantil da distribuição normal padrão.

Passo 4

Para \alpha=0,10 tem-se z_{0,90}\approx1,2816. Rejeita-se H_{0} se
\frac{10,2-\mu_{0}}{1,2/\sqrt{35}}>1,2816
10,2-\mu_{0}>1,2816\cdot\frac{1,2}{\sqrt{35}}\approx0,26
\mu_{0}<10,2-0,26=9,94.
Logo, o maior valor de \mu_{0} que leva à rejeição é aproximadamente 9,94.

Passo 5

Para \mu_{0}=9,8 calculamos
Z_{\rm obs}=\frac{10,2-9,8}{1,2/\sqrt{35}}\approx1,97.
O p-value é
1-\Phi(1,97)\approx0,024.
Aceitamos H_{0} sempre que \alpha\le p\text{-value}, ou seja, para \alpha\lesssim0,024.

Resposta

(26.1) H_{0}:\mu=\mu_{0} e H_{1}:\mu>\mu_{0}.
(26.2) O valor-limite é \mu_{0}\approx9,94 (para \mu_{0}<9,94 rejeita-se H_{0} a \alpha=0,10).
(26.3) Para \mu_{0}=9,8, o nível \alpha máximo que ainda aceita H_{0} é cerca de 0,024.

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