Uma fábrica de componentes eletrônicos realiza um controle de qualidade em sua linha de produção. Considere as seguintes situações:
Em um lote de 10 peças, o técnico verifica quantas delas são defeituosas.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é que a gente tem um lote de 10 peças e quer saber quantas saíram defeituosas. Isso é exercício de variável aleatória discreta, mais especificamente de distribuição binomial (por que cada peça é “Bernoulli”: ou é defeituosa, ou não).
Para resolver a parada, vamos precisar de:
  1. Entender o que é experimento de Bernoulli;
  2. Saber que soma de n experimentos iid Bernoulli vira uma binomial;
  3. Conhecer a fórmula da função de probabilidade, da esperança e da variância da binomial.

Passo 2

Primeiro: cada peça testada é um experimento de Bernoulli – tem só dois resultados: “defeituosa” (com probabilidade p) ou “não defeituosa” (com probabilidade 1–p). Aqui assumimos que p é a taxa de defeito de toda a produção. Se fizermos 10 testes independentes, o número X de peças defeituosas segue a lei Binomial com parâmetros n=10 e p.
Teoria rápida:
  • Experimento de Bernoulli: só sucesso (defeito) com prob p, ou fracasso (sem defeito) com prob 1–p.
  • Se você repete n vezes e soma quantos “sucessos” deram, isso é Binomial(n,p).

Passo 3

Agora a fórmula da probabilidade de X = k defeitos:
P(X = k) ;=;binom10k,p^k,(1-p)^10-k, k=0,1,2,dots,10
Onde
E[X]=n,p =10,p.
Além disso, as duas medidas importantes da binomial são:
  • Esperança (média):
Var(X)=n,p,(1-p)=10,p,(1-p)
  • Variância:

Resposta

Variável aleatória P(X=k)=binom10kp^k(1-p)^10-k, k=0,1,dots,10, = número de peças defeituosas em 10 testes segue
,
com
esperança e variância .

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