Um navio tem um compartimento de carga com capacidade de peso de 160.000 kg e capacidade de volume de 70.000 m^3. O dono do navio foi contratado para levar cargas de carne de boi empacotada e grão. O peso total da carne de boi disponível é 85.000 kg ; o peso total do grão disponível é 100.000 kg . O volume por massa da carne de boi é 0,2 m^3
por quilo, e o volume por massa do grão é 0,4 m^3 por quilo. O lucro para transportar carne de boi é de R por quilo, e o lucro para transportar grão é de por quilo, e o lucro para transportar grão é de quilo. O dono do navio é livre para aceitar toda ou parte da carga disponível; ele quer saber quantos quilos de carne e quantos quilos de grãos devem ser transportados para maximizar seu lucro.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um navio com limite de 160 000 kg de peso e 70 000 m³ de volume pra carregar dois produtos: carne de boi e grão. Há disponível até 85 000 kg de carne e 100 000 kg de grão. Cada quilo de carne “ocupa” 0,2 m³ e rende R$ 0,35 de lucro; cada quilo de grão ocupa 0,4 m³ e rende R$ 0,12. Queremos decidir quantos quilos de cada um levar pra maximizar o lucro, respeitando limites de peso, volume e estoque.
Conteúdo: programação linear básica (LP) em duas variáveis. Vamos precisar
  1. Definir as variáveis de decisão.
  2. Montar a função objetivo e as restrições.
  3. Encontrar a solução ótima (num LP 2D, ela fica num vértice do poliedro).

Passo 2

Definindo variáveis:
L = 0,35,xC + 0,12,xG = quilos de carne de boi a carregar
xC + xG ;<=; 160,000 = quilos de grão a carregar
Função lucro a maximizar:
0,2,xC + 0,4,xG ;<=; 70,000
Restrições:
  1. Peso total
0 <= xC <= 85,000, 0 <= xG <= 100,000
  1. Volume total
  1. Estoque máximo

Passo 3

Como é um LP de duas variáveis, a solução ótima ocorre num canto (ou vértice) do polígono formado pelas interseções das retas acima. Mas, em vez de testar todos os vértices, dá pra usar uma ideia bem simples aqui: comparar o lucro por quilo dos dois produtos.

Passo 4

Lucro por quilo:
carne: 0,35 ; grão: 0,12 ã
Como carne rende mais por quilo, nossa “estratégia gulosa” é:
  1. Carregar toda a carne disponível ( ), até esgotar estoque ou esbarrar em peso/volume.
  2. Com o espaço que sobrar, completar com grão ( ) até encher peso ou volume.

Passo 5

Depois de pôr 53,0000,4 = 132,500 kg, kg de carne:
  • Peso usado = xG = 75,000 kg
  • Volume usado =
Capacidades remanescentes:
  • Peso livre = kg
  • Volume livre =
Para grão, cada quilo ocupa 0,4 m³, então o volume sobrando permitiria até
mas o peso sobrando só permite 75 000 kg. Logo, escolhemos

Passo 6

Verificando tudo:
  • Peso total = L = 0,35times85,000 + 0,12times75,000 = 29,750 + 9,000 = 38,750 reais kg (exatamente no limite)
  • Volume total = m³ (dentro do limite)
Lucro máximo:

Resposta

Leve 85 000 kg de carne de boi e 75 000 kg de grão, obtendo lucro máximo de R$ 38 750.

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