Um navio tem um compartimento de carga com capacidade de peso de 160.000 kg e capacidade de volume de
. O dono do navio foi contratado para levar cargas de carne de boi empacotada e grão. O peso total da carne de boi disponível é 85.000 kg ; o peso total do grão disponível é 100.000 kg . O volume por massa da carne de boi é
por quilo, e o volume por massa do grão é
por quilo. O lucro para transportar carne de boi é de
por quilo, e o lucro para transportar grão é de
quilo. O dono do navio é livre para aceitar toda ou parte da carga disponível; ele quer saber quantos quilos de carne e quantos quilos de grãos devem ser transportados para maximizar seu lucro.
por quilo, e o volume por massa do grão é
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um navio com limite de 160 000 kg de peso e 70 000 m³ de volume pra carregar dois produtos: carne de boi e grão. Há disponível até 85 000 kg de carne e 100 000 kg de grão. Cada quilo de carne “ocupa” 0,2 m³ e rende R$ 0,35 de lucro; cada quilo de grão ocupa 0,4 m³ e rende R$ 0,12. Queremos decidir quantos quilos de cada um levar pra maximizar o lucro, respeitando limites de peso, volume e estoque.
Conteúdo: programação linear básica (LP) em duas variáveis. Vamos precisar
Conteúdo: programação linear básica (LP) em duas variáveis. Vamos precisar
- Definir as variáveis de decisão.
- Montar a função objetivo e as restrições.
- Encontrar a solução ótima (num LP 2D, ela fica num vértice do poliedro).
Passo 2
Definindo variáveis:
= quilos de carne de boi a carregar
= quilos de grão a carregar
Função lucro a maximizar:
Restrições:
- Peso total
- Volume total
- Estoque máximo
Passo 3
Como é um LP de duas variáveis, a solução ótima ocorre num canto (ou vértice) do polígono formado pelas interseções das retas acima. Mas, em vez de testar todos os vértices, dá pra usar uma ideia bem simples aqui: comparar o lucro por quilo dos dois produtos.
Passo 4
Lucro por quilo:
Como carne rende mais por quilo, nossa “estratégia gulosa” é:
- Carregar toda a carne disponível (
), até esgotar estoque ou esbarrar em peso/volume. - Com o espaço que sobrar, completar com grão (
) até encher peso ou volume.
Passo 5
Depois de pôr
kg de carne:
- Peso usado =
- Volume usado =
m³
Capacidades remanescentes:
- Peso livre =
kg - Volume livre =
m³
Para grão, cada quilo ocupa 0,4 m³, então o volume sobrando permitiria até
mas o peso sobrando só permite 75 000 kg. Logo, escolhemos
Passo 6
Verificando tudo:
- Peso total =
kg (exatamente no limite) - Volume total =
m³ (dentro do limite)
Lucro máximo:
Resposta
Leve 85 000 kg de carne de boi e 75 000 kg de grão, obtendo lucro máximo de R$ 38 750.