Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que o tempo de vida de uma lâmpada com uso diário de 10 h tem distribuição normal com vida média de 2400 horas e desvio padrão de 360 horas. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
Entre 1878 e 3005 horas.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X de cada lâmpada, em horas, é distribuído normalmente com média \mu=2400 e desvio padrão \sigma=360. Instalaram-se 1000 lâmpadas e queremos saber quantas durarão entre 1878 e 3005 horas. A ideia é calcular
P(1878 \le X \le 3005)
e depois multiplicar esse valor por 1000.

Passo 2

Padronizamos os extremos usando
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
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z_1 = \frac{1878 - 2400}{360} = \frac{-522}{360} \approx -1{,}45,
z_2 = \frac{3005 - 2400}{360} = \frac{605}{360} \approx 1{,}68.

Passo 3

Pelo teorema da normal padrão,
P(1878 \le X \le 3005) = P\bigl(-1{,}45 \le Z \le 1{,}68\bigr) = \Phi(1{,}68) - \Phi(-1{,}45).
Das tabelas de Z temos aproximadamente
\Phi(1{,}68) = 0{,}9535, \quad \Phi(-1{,}45) = 0{,}0735.
Então
P(1878 \le X \le 3005) = 0{,}9535 - 0{,}0735 = 0{,}8800.

Passo 4

Multiplicando pela quantidade de lâmpadas:
1000 \times 0{,}8800 = 880.

Resposta

Duração entre 1878 e 3005 horas: aproximadamente 880 lâmpadas.

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