Uma va X tem função densidade dada pela expressão f(x)=\frac{1}{2 x}, \quad 1 \leq x \leq \mathrm{e}^{2}.
a) Calcule E(X) e determine F(x).
b) Calcular P(X \leq 1,5) e P(\mathrm{e} \leq X \leq \mathrm{e} / 2).
c) Calcule P\left(\left.X \leq \frac{\mathrm{e}}{k} \right\rvert\, X \leq \mathrm{e}\right), para 1 \leq k \leq \mathrm{e}.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. X com densidade
f(x)=\frac{1}{2x},\quad 1\le x\le e^2,
e pede em (a) o valor de E(X) e a função de distribuição F(x), em (b) as probabilidades P(X\le1,5) e P(e\le X\le e/2), e em (c) a probabilidade condicional
P\Bigl(X\le\frac{e}{k}\Bigm|X\le e\Bigr),\quad 1\le k\le e.

Passo 2

Para calcular E(X) usamos
E(X)=\int_{1}^{e^2}x\,f(x)\,dx =\int_{1}^{e^2}x\cdot\frac{1}{2x}\,dx =\int_{1}^{e^2}\frac{1}{2}\,dx =\frac{1}{2}\bigl[e^2-1\bigr].

Passo 3

A função de distribuição F(x)=P(X\le x) é
F(x)= \begin{cases} 0,&x<1,\\[6pt] \displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{2t}\,dt =\tfrac{1}{2}\bigl(\ln x-\ln1\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln x, &1\le x\le e^2,\\[6pt] 1,&x>e^2. \end{cases}]

Passo 4

Usando F:
P(X\le1,5)=F(1,5)=\tfrac{1}{2}\ln(1,5),
e como o evento \{e\le X\le e/2\} é vazio (pois e>e/2),
P(e\le X\le e/2)=0.

Passo 5

Para a probabilidade condicional
P\Bigl(X\le\frac{e}{k}\Bigm|X\le e\Bigr) =\frac{P\bigl(X\le\frac{e}{k}\bigr)}{P(X\le e)} =\frac{F(e/k)}{F(e)} =\frac{\tfrac{1}{2}\ln(e/k)}{\tfrac{1}{2}\ln e} =\ln\bigl(e/k\bigr) =1-\ln k.

Resposta

(a) \displaystyle E(X)=\tfrac{e^2-1}{2}\). \(\displaystyle F(x)=\begin{cases} 0,&x<1,\\\ \tfrac12\ln x,&1\le x\le e^2,\\\\ 1,&x>e^2. \end{cases}
(b) \displaystyle P(X\le1,5)=\tfrac12\ln(1,5),\quad P(e\le X\le e/2)=0.
(c) \displaystyle P\Bigl(X\le\frac{e}{k}\Bigm|X\le e\Bigr)=1-\ln k,\quad 1\le k\le e.

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