Uma fábrica possui três máquinas indutivas ligadas em paralelo e alimentadas por uma fonte de tensão alternada de valor eficaz 100 V e frequência 60 Hz . Sabe-se que a máquina 1 absorve 600 W e 10 A , a máquina 2 absorve 1600 W e 20 A e a máquina 3 absorve potência reativa de 1732 VAr e 20 A . Pede-se determinar: a) qual o valor dos capacitores que ligados em paralelo com cada máquina torna o fator de potência de cada uma delas unitário? b) qual o valor do capacitor que ligado em paralelo com a fonte torna unitário o fator de potência da instalação? c) qual o valor da corrente fornecida pela fonte antes e depois da correção do fator de potência?

Passo 1

O enunciado trata de correção de fator de potência em circuitos de corrente alternada. Temos três máquinas indutivas em paralelo alimentadas por V_{\text{rms}}=100,V e f=60,Hz. Cada máquina absorve potência ativa P e corrente I (ou potência reativa Q no caso da máquina 3). Queremos (a) calcular, para cada máquina, o valor do capacitor que anule a reatância indutiva, tornando o fator de potência unitário; (b) calcular o capacitor total, em paralelo com a fonte, para corrigir o fator de potência global; (c) comparar a corrente fornecida pela fonte antes e depois da correção. Para isso vamos precisar de:
  • Relação entre potência ativa, reativa e fator de potência:
\cos\varphi=\frac{P}{V I},\quad Q=P\tan\varphi.
  • Reatância capacitiva e carga reativa de um capacitor:
Q_C=V^2\,\omega\,C,\quad \omega=2\pi f.

Passo 2

Calcular a potência reativa de cada máquina.
Máquina 1:
\cos\varphi_1=\frac{P_1}{V I_1}=\frac{600}{100\cdot10}=0,6\;\Rightarrow\;\varphi_1=\operatorname{arccos}(0,6).
\tan\varphi_1=\sqrt{\frac{1}{0,6^2}-1}= \frac{4}{3}\approx1,333.
\;Q_1=P_1\tan\varphi_1=600\cdot1,333=800\text{ VAr}.
Máquina 2:
\cos\varphi_2=\frac{1600}{100\cdot20}=0,8,\quad \tan\varphi_2=\sqrt{\frac{1}{0,8^2}-1}=0,75.
\;Q_2=1600\cdot0,75=1200\text{ VAr}.
Máquina 3 (já só reativa):
\;Q_3=1732\text{ VAr}.

Passo 3

Calcular os capacitores que forneçam Q_C=Q_L em cada máquina.
\omega=2\pi\cdot60\approx377\text{ rad/s}.
Para cada ramo:
C=\frac{Q_L}{V^2\,\omega}
Logo
C_1=\frac{800}{100^2\cdot377}\approx2{,}12\times10^{-4}\text{ F}=212\mu\text{F},
C_2=\frac{1200}{100^2\cdot377}\approx3{,}18\times10^{-4}\text{ F}=318\mu\text{F},
C_3=\frac{1732}{100^2\cdot377}\approx4{,}59\times10^{-4}\text{ F}=459\mu\text{F}.

Passo 4

Calcular o capacitor total para corrigir o conjunto de máquinas.
Potência ativa total:
P_{\text{tot}}=600+1600+1000=3200\text{ W},
onde 1000 W é P_3=\sqrt{(V I_3)^2-Q_3^2}=\sqrt{2000^2-1732^2}.
Potência reativa total:
Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2+Q_3=800+1200+1732=3732\text{ VAr}.
Assim
C_{\text{tot}} =\frac{Q_{\text{tot}}}{V^2\,\omega} =\frac{3732}{100^2\cdot377} \approx9{,}89\times10^{-4}\text{ F}=989\mu\text{F}.

Passo 5

Calcular a corrente da fonte antes e depois da correção.
Antes da correção a potência aparente é
S_{\text{antes}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^2+Q_{\text{tot}}^2} =\sqrt{3200^2+3732^2}\approx4916\text{ VA},
I_{\text{antes}}=\frac{S_{\text{antes}}}{V} \approx\frac{4916}{100}=49{,}16\text{ A}.
Depois da correção restam só 3200 W (fator unitário), logo
I_{\text{depois}}=\frac{P_{\text{tot}}}{V}=\frac{3200}{100}=32\text{ A}.

Resposta

(a) C_1=212\mu\text{F},\;C_2=318\mu\text{F},\;C_3=459\mu\text{F}.
(b) C_{\text{tot}}=989\mu\text{F}.
(c) I_{\text{antes}}=49{,}16\text{ A},\;I_{\text{depois}}=32\text{ A}.

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