Uma fábrica pretende mostrar que a média de resíduos lançados por dia não aumentou. O valor histórico é 15 \mathrm{~kg} / dia. Uma amostra de 50 dias deu média 15,5 \mathrm{~kg} com variância conhecida de 2,25 . Use \alpha=0,05.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pedido: verificar, ao nível de significância \alpha=0,05, se a média de resíduos lançados por dia não aumentou em relação ao valor histórico. Em termos práticos, devemos testar se há evidência de aumento da média.\n
  • Informações dadas:
    • média histórica: \mu_0 = 15 kg/dia,
    • tamanho da amostra: n = 50,
    • média amostral: \bar{X} = 15,5 kg/dia,
    • variância conhecida: \sigma^2 = 2,25 (logo \sigma = \sqrt{2,25}=1,5 kg/dia),
    • nível de significância: \alpha = 0,05.\n
      Observação: o enunciado quer mostrar que “a média não aumentou”. Para testar essa alegação costuma-se formular um teste cujo hipotese alternativa corresponde ao aumento; o resultado do teste dirá se há evidência de aumento (o que contrariaria a alegação) ou não. A definição exata das hipóteses e do método vêm no passo seguinte.

Passo 2

Escolha das hipóteses e do método (justificativa):\n
  • Hipóteses (teste unilateral à direita, pois o interesse é detectar aumento):
H_0: \mu = 15
H_1: \mu > 15
Explicação: colocamos H_1 como \mu>15 porque queremos saber se a média aumentou; H_0 representa o valor histórico que deve ser mantido.\n
  • Método: teste z para média com variância conhecida.\n
    Justificativa do método: a variância populacional foi informada ( \sigma^2=2,25 ), portanto o procedimento padrão é usar o teste z, que usa a distribuição normal padronizada. Além disso n=50 é relativamente grande, o que reforça a validade do uso da distribuição normal para a média amostral.

Passo 3

Distribuição da média amostral e estatística de teste (aula rápida):\n
  • Se as observações são independentes com média \mu e variância \sigma^2, a média amostral \bar{X} tem média \mu e variância \sigma^2/n. Para n grande (ou se os dados forem normais), \bar{X} é aproximadamente normal. Assim
\bar{X}\sim \text{(aprox.) }N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
  • A estatística de teste padronizada é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média da amostra (aqui \bar{X}=15,5),
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=15),
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui \sigma=1,5),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=50).\n
    Interpretação prática: quanto maior o valor de Z (positivo), mais a média amostral está acima do valor histórico; comparamos Z com valores da normal padrão para decidir.

Passo 4

Cálculo numérico do erro padrão e da estatística Z:\n
  • Primeiro o desvio-padrão populacional:
\sigma=\sqrt{2,25}=1,5.
  • Erro padrão da média (desvio-padrão de \bar{X}):
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,5}{\sqrt{50}}.
Calcule \sqrt{50}=7,0710678 (aprox.), então
\text{EP}=\frac{1,5}{7,0710678}\approx 0,212132.
  • Estatística de teste:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\text{EP}}=\frac{15,5-15}{0,212132}=\frac{0,5}{0,212132}\approx 2,357.

Passo 5

Cálculo do valor crítico, p-valor e comparação (passo para decisão):\n
  • Como o teste é unilateral à direita com \alpha=0,05, o valor crítico da normal padrão é
z_{1-\alpha}=z_{0,95}\approx 1,6449.
(Isto vem da tabela da normal padrão: a área à esquerda de 1,6449 é 0,95.)\n
  • Comparação numérica:
    • estatística observada: Z\approx 2,357,
    • valor crítico: z_{0,95}\approx 1,6449.\n
  • Cálculo do p-valor (probabilidade, sob H_0, de obter Z tão grande ou maior):
\text{p-valor}=P(Z\ge 2,357)=1-\Phi(2,357)\approx 0,0092.
(Use tabela da normal padrão ou calculadora; aqui \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.)\n
Observações: os números acima são suficientes para tomar a decisão ao nível \alpha=0,05; a decisão final e a interpretação vêm no campo de resposta.

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidência ao nível \alpha=0,05 de que a média aumentou. Z\approx 2,357, p-valor \approx 0,0092.

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