Uma fábrica pretende mostrar que a média de resíduos lançados por dia não aumentou. O valor histórico é
dia. Uma amostra de 50 dias deu média
com variância conhecida de 2,25 . Use
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
- Pedido: verificar, ao nível de significância
, se a média de resíduos lançados por dia não aumentou em relação ao valor histórico. Em termos práticos, devemos testar se há evidência de aumento da média.\n - Informações dadas:
- média histórica:
kg/dia, - tamanho da amostra:
, - média amostral:
kg/dia, - variância conhecida:
(logo kg/dia), - nível de significância:
.\n
Observação: o enunciado quer mostrar que “a média não aumentou”. Para testar essa alegação costuma-se formular um teste cujo hipotese alternativa corresponde ao aumento; o resultado do teste dirá se há evidência de aumento (o que contrariaria a alegação) ou não. A definição exata das hipóteses e do método vêm no passo seguinte.
- média histórica:
Passo 2
Escolha das hipóteses e do método (justificativa):\n
- Hipóteses (teste unilateral à direita, pois o interesse é detectar aumento):
Explicação: colocamos
como
porque queremos saber se a média aumentou;
representa o valor histórico que deve ser mantido.\n
- Método: teste
para média com variância conhecida.\n
Justificativa do método: a variância populacional foi informada (), portanto o procedimento padrão é usar o teste z, que usa a distribuição normal padronizada. Além disso é relativamente grande, o que reforça a validade do uso da distribuição normal para a média amostral.
Passo 3
Distribuição da média amostral e estatística de teste (aula rápida):\n
- Se as observações são independentes com média
e variância , a média amostral tem média e variância . Para grande (ou se os dados forem normais), é aproximadamente normal. Assim
- A estatística de teste padronizada é
Aqui:
-
é a média da amostra (aqui ), -
é a média sob (aqui ), -
é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ).\n
Interpretação prática: quanto maior o valor de(positivo), mais a média amostral está acima do valor histórico; comparamos com valores da normal padrão para decidir.
Passo 4
Cálculo numérico do erro padrão e da estatística
:\n
- Primeiro o desvio-padrão populacional:
- Erro padrão da média (desvio-padrão de
):
Calcule
(aprox.), então
- Estatística de teste:
Passo 5
Cálculo do valor crítico, p-valor e comparação (passo para decisão):\n
- Como o teste é unilateral à direita com
, o valor crítico da normal padrão é
(Isto vem da tabela da normal padrão: a área à esquerda de
é
.)\n
- Comparação numérica:
- estatística observada:
, - valor crítico:
.\n
- estatística observada:
- Cálculo do p-valor (probabilidade, sob
, de obter tão grande ou maior):
(Use tabela da normal padrão ou calculadora; aqui
é a função distribuição acumulada da normal padrão.)\n
Observações: os números acima são suficientes para tomar a decisão ao nível ; a decisão final e a interpretação vêm no campo de resposta.
Observações: os números acima são suficientes para tomar a decisão ao nível
Resposta
Rejeita-se
; há evidência ao nível
de que a média aumentou.
, p-valor
.