A variância da rugosidade superficial de um processo de usinagem deve ser
. Uma amostra de 12 medições apresentou variância 0,9 . Teste a hipótese com
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para testar a hipótese sobre a variância do processo de usinagem:
- Variância pretendida (hipótese nula):
. - Tamanho da amostra:
. - Variância amostral observada:
. - Nível de significância:
.
O que se pede: verificar, com
, se os dados fornecem evidência suficiente para rejeitar a hipótese de que a variância verdadeira é
.
Passo 2
Definimos as hipóteses do teste (teste bilateral, pois queremos testar se a variância é diferente da indicada):
Explicação curta:
diz que a variância real do processo é exatamente
;
diz que é diferente (pode ser maior ou menor). Para testar variâncias usamos um teste baseado na distribuição qui-quadrado.
Passo 3
Apresento a estatística de teste e por que ela é usada:
- Quando as observações vêm de uma população aproximadamente normal, a quantidade
segue uma distribuição
com
graus de liberdade sob
.
Aqui:
-
é o tamanho da amostra ( ); -
é a variância amostral observada ( ); -
é a variância sob ( ); -
é a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade.
Breve aula: a razão
surge porque
é baseado em somas de quadrados centradas; somando os quadrados das distâncias à média gera uma variável cuja distribuição é proporcional a
. Por isso esse teste é apropriado para comparar variâncias.
Passo 4
Calculo numérico da estatística de teste:
Portanto a estatística observada vale
.
Passo 5
Determino a região crítica para um teste bilateral com
e
graus de liberdade:
- Rejeitamos
se
Usando a tabela da
(valores padrão de tabela):
Isto significa que a região de rejeição é
ou
.
Observação: os valores foram obtidos da tabela da distribuição qui-quadrado para
graus de liberdade nos quantis
e
.
Passo 6
Comparação da estatística com a região crítica:
Como
fica dentro do intervalo entre os quantis críticos, não estamos na região de rejeição. Logo, com
não rejeitamos
.
Interpretação em palavras: a variância amostral observada (
) é maior que a hipotética (
), mas essa diferença não é grande o suficiente, com
, para concluir que a variância do processo difere de
ao nível de significância de
.
Passo 7
Cálculo aproximado do p-valor (para dar mais informação):
- O p-valor bilateral é
porque a estatística está acima da média. - Aproximação normal para a cauda superior: a distribuição
tem média e variância . Assim
A probabilidade da cauda superior aproximada é
. Então o p-valor bilateral aproximado é
Interpretação do p-valor:
significa que, sob
, uma estatística tão extrema quanto a observada ocorreria cerca de
das vezes — muito acima de
, reforçando a decisão de não rejeitar
.
Passo 8
Conclusão prática e motivação para a prova:
- Decisão: não rejeitamos
ao nível . - Em linguagem de prova: o teste qui-quadrado para variância com
deu , que está entre e ; portanto não há evidência suficiente para afirmar que a variância difere de . - Dica prática para prova: memorize a estatística
e o formato da região crítica para teste bilateral; sempre verifique graus de liberdade e se deve usar teste unilateral ou bilateral conforme o enunciado.
Resposta
Não rejeita-se
;
, região de rejeição:
ou
. p-valor aproximado
.