A variância da rugosidade superficial de um processo de usinagem deve ser 0,6 \mu \mathrm{~m}^{2}. Uma amostra de 12 medições apresentou variância 0,9 . Teste a hipótese com \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para testar a hipótese sobre a variância do processo de usinagem:
  • Variância pretendida (hipótese nula): \sigma_0^2 = 0,6\\ \mu\mathrm{m}^2.
  • Tamanho da amostra: n = 12.
  • Variância amostral observada: s^2 = 0,9\\ \mu\mathrm{m}^2.
  • Nível de significância: \alpha = 0,05.
O que se pede: verificar, com \alpha=0,05, se os dados fornecem evidência suficiente para rejeitar a hipótese de que a variância verdadeira é 0,6\\ \mu\mathrm{m}^2.

Passo 2

Definimos as hipóteses do teste (teste bilateral, pois queremos testar se a variância é diferente da indicada):
H_0:\\ \sigma^2 = 0,6
H_a:\\ \sigma^2 \neq 0,6
Explicação curta: H_0 diz que a variância real do processo é exatamente 0,6; H_a diz que é diferente (pode ser maior ou menor). Para testar variâncias usamos um teste baseado na distribuição qui-quadrado.

Passo 3

Apresento a estatística de teste e por que ela é usada:
  • Quando as observações vêm de uma população aproximadamente normal, a quantidade
T=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
segue uma distribuição \chi^2 com n-1 graus de liberdade sob H_0.
Aqui:
  • n é o tamanho da amostra ( n=12);
  • s^2 é a variância amostral observada ( s^2=0,9);
  • \sigma_0^2 é a variância sob H_0 ( 0,6);
  • \chi^2_{n-1} é a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
Breve aula: a razão (n-1)s^2/\sigma^2 surge porque s^2 é baseado em somas de quadrados centradas; somando os quadrados das distâncias à média gera uma variável cuja distribuição é proporcional a \chi^2. Por isso esse teste é apropriado para comparar variâncias.

Passo 4

Calculo numérico da estatística de teste:
T=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{11\cdot 0,9}{0,6}=11\cdot\frac{0,9}{0,6}=11\cdot 1{,}5=16{,}5.
Portanto a estatística observada vale T_{\text{obs}}=16{,}5.

Passo 5

Determino a região crítica para um teste bilateral com \alpha=0,05 e n-1=11 graus de liberdade:
  • Rejeitamos H_0 se
T < \chi^2_{\alpha/2,\;11}\quad\text{ou}\quad T > \chi^2_{1-\alpha/2,\;11}.
Usando a tabela da \chi^2 (valores padrão de tabela):
\chi^2_{0{,}025,\;11}\approx 3{,}816
\chi^2_{0{,}975,\;11}\approx 21{,}920
Isto significa que a região de rejeição é T<3{,}816 ou T>21{,}920.
Observação: os valores foram obtidos da tabela da distribuição qui-quadrado para 11 graus de liberdade nos quantis 0{,}025 e 0{,}975.

Passo 6

Comparação da estatística com a região crítica:
3{,}816 < 16{,}5 < 21{,}920.
Como T_{\text{obs}} fica dentro do intervalo entre os quantis críticos, não estamos na região de rejeição. Logo, com \alpha=0{,}05 não rejeitamos H_0.
Interpretação em palavras: a variância amostral observada ( 0,9) é maior que a hipotética ( 0,6), mas essa diferença não é grande o suficiente, com n=12, para concluir que a variância do processo difere de 0,6 ao nível de significância de 5\%.

Passo 7

Cálculo aproximado do p-valor (para dar mais informação):
  • O p-valor bilateral é p = 2\cdot P\big(\chi^2_{11} \ge T_{\text{obs}}\big) porque a estatística está acima da média.
  • Aproximação normal para a cauda superior: a distribuição \chi^2_{11} tem média 11 e variância 2\cdot 11=22. Assim
z \approx \frac{T_{\text{obs}}-11}{\sqrt{22}}=\frac{16{,}5-11}{\sqrt{22}}=\frac{5{,}5}{4{,}690}\approx 1{,}17.
A probabilidade da cauda superior aproximada é 1-\Phi(1{,}17)\approx 0{,}12. Então o p-valor bilateral aproximado é
p \approx 2\cdot 0{,}12 = 0{,}24.
Interpretação do p-valor: p\approx 0{,}24 significa que, sob H_0, uma estatística tão extrema quanto a observada ocorreria cerca de 24\% das vezes — muito acima de \alpha=5\%, reforçando a decisão de não rejeitar H_0.

Passo 8

Conclusão prática e motivação para a prova:
  • Decisão: não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
  • Em linguagem de prova: o teste qui-quadrado para variância com n-1=11 deu T_{\text{obs}}=16{,}5, que está entre \chi^2_{0{,}025,11} e \chi^2_{0{,}975,11}; portanto não há evidência suficiente para afirmar que a variância difere de 0,6\\ \mu\mathrm{m}^2.
  • Dica prática para prova: memorize a estatística \dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1} e o formato da região crítica para teste bilateral; sempre verifique graus de liberdade n-1 e se deve usar teste unilateral ou bilateral conforme o enunciado.

Resposta

Não rejeita-se H_0; T_{\text{obs}}=16{,}5, região de rejeição: T<3{,}816 ou T>21{,}920. p-valor aproximado p\approx 0{,}24.

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