A urna A contém 2 bolas brancas e 3 vermelhas. A urna B contém 4 bolas brancas e 1 vermelha. Uma bola é escolhida ao acaso da urna A, e posta na urna B. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna B. Qual é a probabilidade de que esta bola seja branca?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informações dadas:
    • A urna A contém 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas (portanto 5 bolas no total).
    • A urna B contém 4 bolas brancas e 1 bola vermelha (portanto 5 bolas no total).
    • Procedimento: escolhe-se uma bola ao acaso da urna A e coloca-se essa bola na urna B. Em seguida, escolhe-se uma bola ao acaso da urna B (já com a bola transferida).
  • O que o problema pede:
    • A probabilidade de que a bola retirada da urna B (na segunda retirada) seja branca.

Passo 2

Vamos identificar os eventos úteis e calcular as probabilidades de primeiro passo (retirada da urna A).
  • Definimos os eventos:
    • W_A: a bola tirada de A é branca.
    • R_A: a bola tirada de A é vermelha.
  • Probabilidades de tirar cada cor de A: a probabilidade é “número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos”.
    P(W_A)=\frac{2}{5}
P(R_A)=\frac{3}{5}
Explicando: há 2 brancas entre 5 bolas em A, logo chance 2/5; e 3 vermelhas entre 5, logo 3/5.

Passo 3

Agora vamos ver como a urna B fica após a transferência, dependendo do que saiu de A, e calcular a probabilidade de tirar branca de B em cada caso (probabilidades condicionais).
  • Se a bola transferida de A for branca (W_A), então a urna B passa a ter 4+1=5 brancas e 1 vermelha, total 6 bolas. A probabilidade de tirar branca de B nesse caso é:
    P(W_B \mid W_A)=\frac{5}{6}
    Aqui W_B significa “bola tirada de B é branca”.
  • Se a bola transferida de A for vermelha (R_A), então a urna B passa a ter 4 brancas e 1+1=2 vermelhas, total 6 bolas. A probabilidade de tirar branca de B nesse caso é:
    P(W_B \mid R_A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
  • Explicando o que é P(W_B \mid W_A): é a probabilidade de tirar branca de B sabendo que a bola transferida foi branca. Isso é uma probabilidade condicional — a chance muda conforme o resultado da primeira retirada.

Passo 4

Vamos usar a regra da probabilidade total (lei da probabilidade total), que diz: se os eventos W_A e R_A formam uma partição (ou seja, são exclusivos e cobrem todas as possibilidades), então
P(W_B)=P(W_B\mid W_A)\,P(W_A)+P(W_B\mid R_A)\,P(R_A).
Explicando: a probabilidade final de tirar branca de B é a soma das probabilidades de cada cenário (transferiu branca ou transferiu vermelha) multiplicadas pela probabilidade desse cenário.

Passo 5

Substituímos os valores que já calculamos na fórmula da probabilidade total e calculamos passo a passo.
  • Substituição:
    P(W_B)=\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}.
  • Calculemos cada termo separadamente:
    \frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
    pois o 5 cancela.
    \frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5},
    pois \frac{4}{6}=\frac{2}{3} e então o 3 cancela.
  • Somando:
    P(W_B)=\frac{1}{3}+\frac{2}{5}.
    Colocando em denominador comum 15:
    \frac{1}{3}=\frac{5}{15},\qquad \frac{2}{5}=\frac{6}{15},
P(W_B)=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: o resultado \frac{11}{15} está entre \frac{2}{3} e 1, faz sentido porque já havia mais brancas no total entre as duas urnas e a transferência aumenta ligeiramente a chance de branca quando uma branca é transferida. Também poderíamos ter contado sequências (tirar branca de A e depois branca de B, ou tirar vermelha de A e depois branca de B) e somado as probabilidades dos caminhos — daria o mesmo \frac{11}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{15}

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