A urna A contém 2 bolas brancas e 3 vermelhas. A urna B contém 4 bolas brancas e 1 vermelha. Uma bola é escolhida ao acaso da urna A, e posta na urna B. A seguir, uma bola é escolhida ao acaso da urna B. Qual é a probabilidade de que esta bola seja branca?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informações dadas:
- A urna
contém bolas brancas e bolas vermelhas (portanto bolas no total). - A urna
contém bolas brancas e bola vermelha (portanto bolas no total). - Procedimento: escolhe-se uma bola ao acaso da urna
e coloca-se essa bola na urna . Em seguida, escolhe-se uma bola ao acaso da urna (já com a bola transferida).
- A urna
- O que o problema pede:
- A probabilidade de que a bola retirada da urna
(na segunda retirada) seja branca.
- A probabilidade de que a bola retirada da urna
Passo 2
Vamos identificar os eventos úteis e calcular as probabilidades de primeiro passo (retirada da urna
).
-
Definimos os eventos:
-
: a bola tirada de é branca. -
: a bola tirada de é vermelha.
-
-
Probabilidades de tirar cada cor de
: a probabilidade é “número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos”.
Explicando: há
brancas entre
bolas em
, logo chance
; e
vermelhas entre
, logo
.
Passo 3
Agora vamos ver como a urna
fica após a transferência, dependendo do que saiu de
, e calcular a probabilidade de tirar branca de
em cada caso (probabilidades condicionais).
-
Se a bola transferida de
for branca , então a urna passa a ter brancas e vermelha, total bolas. A probabilidade de tirar branca de nesse caso é: Aquisignifica “bola tirada de é branca”. -
Se a bola transferida de
for vermelha , então a urna passa a ter brancas e vermelhas, total bolas. A probabilidade de tirar branca de nesse caso é: -
Explicando o que é
: é a probabilidade de tirar branca de sabendo que a bola transferida foi branca. Isso é uma probabilidade condicional — a chance muda conforme o resultado da primeira retirada.
Passo 4
Vamos usar a regra da probabilidade total (lei da probabilidade total), que diz: se os eventos
e
formam uma partição (ou seja, são exclusivos e cobrem todas as possibilidades), então
Explicando: a probabilidade final de tirar branca de
é a soma das probabilidades de cada cenário (transferiu branca ou transferiu vermelha) multiplicadas pela probabilidade desse cenário.
Passo 5
Substituímos os valores que já calculamos na fórmula da probabilidade total e calculamos passo a passo.
-
Substituição:
-
Calculemos cada termo separadamente:pois o
cancela. poise então o cancela. -
Somando:Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: o resultado
está entre
e
, faz sentido porque já havia mais brancas no total entre as duas urnas e a transferência aumenta ligeiramente a chance de branca quando uma branca é transferida. Também poderíamos ter contado sequências (tirar branca de
e depois branca de
, ou tirar vermelha de
e depois branca de
) e somado as probabilidades dos caminhos — daria o mesmo
.