Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B sendo o custo mensal da produção conjunta dado por:
. Em um certo mês foram produzidas 3000 unidades de A e 2000 unidades de B.
a) Calcule o custo da produção conjunta nesse mês.
b) Calcule
e
nesse mês.
c) Deseja-se aumentar a produção, entretanto, foi orientado que será necessário mexer o mínimo possível no custo. A fim de minimizar os gastos, verificar qual mudança é mais conveniente nesse caso e a fim de exemplificar um resultado positivo em uma das situações, aumentar a produção de A mantendo B constante ou aumentar a de B e manter a produção de A constante? Justifique sua resposta.
a) Calcule o custo da produção conjunta nesse mês.
b) Calcule
c) Deseja-se aumentar a produção, entretanto, foi orientado que será necessário mexer o mínimo possível no custo. A fim de minimizar os gastos, verificar qual mudança é mais conveniente nesse caso e a fim de exemplificar um resultado positivo em uma das situações, aumentar a produção de A mantendo B constante ou aumentar a de B e manter a produção de A constante? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função custo conjunto e um ponto específico de produção. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
-
Dados:
- A função custo é
. - No mês em questão foram produzidas
unidades de A e unidades de B.
- A função custo é
-
Perguntas:
- (a) Calcular o custo
desse mês. - (b) Calcular
e avaliados em . - (c) Decidir, para aumentar a produção mexendo o mínimo possível no custo, qual é mais conveniente: aumentar A mantendo B constante ou aumentar B mantendo A constante? Justificar.
- (a) Calcular o custo
Passo 2
(a) Calcular o custo numérico neste mês.
Primeiro calcular os quadrados e a raiz que aparecem em
com
e
.
- Calcular
:
- Calcular
e :
- Somar os termos dentro da raiz:
- Raiz quadrada:
pois
.
Agora calcular
:
Passo 3
(b) Entender o que é derivada parcial e como interpretá-la.
- Definição intuitiva: a derivada parcial
mede a taxa de variação do custo quando só se varia (unidades de A), mantendo fixo. Analogamente, mede a taxa de variação do custo quando só se varia , mantendo fixo. - Para funções que envolvem uma raiz, usamos a regra da cadeia para derivar: se
com e , então
Passo 4
(b) Calcular simbolicamente as derivadas parciais usando a regra da cadeia.
- Derivada de
é . - Derivadas parciais de
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
(b) Avaliar as derivadas no ponto
.
Já calculamos
. Portanto:
- Para
:
- Para
:
Interpretação numérica: aumentar
em 1 unidade aumenta o custo aproximadamente em
(unidade monetária) se
for mantido fixo; aumentar
em 1 unidade aumenta o custo aproximadamente em
se
for mantido fixo. Essas são estimativas lineares válidas para variações pequenas (marginais).
Passo 6
(c) Decisão sobre qual aumento é mais conveniente para mexer o mínimo possível no custo.
- Para pequenas mudanças unitárias, a variação aproximada do custo ao variar só
é . Analogamente para . - Como
e , a subida de custo por unidade adicional de é menor que a subida de custo por unidade adicional de . - Conclusão prática: para aumentar a produção mexendo o mínimo possível no custo, é mais conveniente aumentar a produção de
mantendo constante, porque o custo marginal de ( por unidade) é menor que o custo marginal de ( por unidade).
Exemplo numérico de verificação: aumentar
em
unidades custaria aproximadamente
. Aumentar
em
unidades custaria aproximadamente
. Assim o aumento em
provoca menor acréscimo de custo.
Passo 7
Recapitulando em linguagem de amigo: a conta do mês deu
. As derivadas parciais (as “taxas marginais”) mostraram que cada unidade extra de A custa bem menos que cada unidade extra de B naquele ponto, então se quiser crescer a produção sem estourar o custo, aumenta A primeiro — é o caminho mais barato no entorno imediato.
Resposta
(a)
(b)
(c) Aumentar a produção de A mantendo B constante, pois
naquele ponto (logo o custo marginal de A é menor).