Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B sendo o custo mensal da produção conjunta dado por: \mathrm{C}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=2000+\sqrt{ }\left(\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}\right). Em um certo mês foram produzidas 3000 unidades de A e 2000 unidades de B.
a) Calcule o custo da produção conjunta nesse mês.
b) Calcule \partial \mathrm{C} / \partial \mathrm{x} e \partial \mathrm{C} / \partial \mathrm{y} nesse mês.
c) Deseja-se aumentar a produção, entretanto, foi orientado que será necessário mexer o mínimo possível no custo. A fim de minimizar os gastos, verificar qual mudança é mais conveniente nesse caso e a fim de exemplificar um resultado positivo em uma das situações, aumentar a produção de A mantendo B constante ou aumentar a de B e manter a produção de A constante? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função custo conjunto e um ponto específico de produção. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados:
    • A função custo é \displaystyle C(x,y)=2000+\sqrt{x^{2}+4y^{2}}.
    • No mês em questão foram produzidas x=3000 unidades de A e y=2000 unidades de B.
  • Perguntas:
    1. (a) Calcular o custo C(3000,2000) desse mês.
    2. (b) Calcular \displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} avaliados em (3000,2000).
    3. (c) Decidir, para aumentar a produção mexendo o mínimo possível no custo, qual é mais conveniente: aumentar A mantendo B constante ou aumentar B mantendo A constante? Justificar.

Passo 2

(a) Calcular o custo numérico neste mês.
Primeiro calcular os quadrados e a raiz que aparecem em \sqrt{x^{2}+4y^{2}} com x=3000 e y=2000.
  • Calcular x^{2}:
3000^{2}=3\,000\times3\,000=9\,000\,000.
  • Calcular y^{2} e 4y^{2}:
2000^{2}=2\,000\times2\,000=4\,000\,000,
4y^{2}=4\times4\,000\,000=16\,000\,000.
  • Somar os termos dentro da raiz:
x^{2}+4y^{2}=9\,000\,000+16\,000\,000=25\,000\,000.
  • Raiz quadrada:
\sqrt{25\,000\,000}=5\,000,
pois 5\,000^{2}=25\,000\,000.
Agora calcular C(3000,2000):
C(3000,2000)=2000+\sqrt{25\,000\,000}=2000+5000=7000.

Passo 3

(b) Entender o que é derivada parcial e como interpretá-la.
  • Definição intuitiva: a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial C}{\partial x}(x,y) mede a taxa de variação do custo quando só se varia x (unidades de A), mantendo y fixo. Analogamente, \displaystyle \frac{\partial C}{\partial y}(x,y) mede a taxa de variação do custo quando só se varia y, mantendo x fixo.
  • Para funções que envolvem uma raiz, usamos a regra da cadeia para derivar: se C(x,y)=2000+g(h(x,y)) com g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} e h(x,y)=x^{2}+4y^{2}, então
\frac{\partial C}{\partial x}=\;g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}, \qquad \frac{\partial C}{\partial y}=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial y}.

Passo 4

(b) Calcular simbolicamente as derivadas parciais usando a regra da cadeia.
  • Derivada de g(u)=u^{1/2} é g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Derivadas parciais de h(x,y)=x^{2}+4y^{2}:
\frac{\partial h}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial h}{\partial y}=8y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial C}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4y^{2}}}.
\frac{\partial C}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+4y^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 8y = \frac{4y}{\sqrt{x^{2}+4y^{2}}}.

Passo 5

(b) Avaliar as derivadas no ponto (3000,2000).
Já calculamos \sqrt{x^{2}+4y^{2}}=\sqrt{25\,000\,000}=5000. Portanto:
  • Para x:
\frac{\partial C}{\partial x}(3000,2000)=\frac{3000}{5000}=\frac{3}{5}=0,6.
  • Para y:
\frac{\partial C}{\partial y}(3000,2000)=\frac{4\cdot2000}{5000}=\frac{8000}{5000}=\frac{8}{5}=1,6.
Interpretação numérica: aumentar x em 1 unidade aumenta o custo aproximadamente em \,0,6 (unidade monetária) se y for mantido fixo; aumentar y em 1 unidade aumenta o custo aproximadamente em \,1,6 se x for mantido fixo. Essas são estimativas lineares válidas para variações pequenas (marginais).

Passo 6

(c) Decisão sobre qual aumento é mais conveniente para mexer o mínimo possível no custo.
  • Para pequenas mudanças unitárias, a variação aproximada do custo ao variar só x é \Delta C\approx\frac{\partial C}{\partial x}\Delta x. Analogamente para y.
  • Como \displaystyle \frac{\partial C}{\partial x}(3000,2000)=0,6 e \displaystyle \frac{\partial C}{\partial y}(3000,2000)=1,6, a subida de custo por unidade adicional de A é menor que a subida de custo por unidade adicional de B.
  • Conclusão prática: para aumentar a produção mexendo o mínimo possível no custo, é mais conveniente aumentar a produção de A mantendo B constante, porque o custo marginal de A ( 0,6 por unidade) é menor que o custo marginal de B ( 1,6 por unidade).
Exemplo numérico de verificação: aumentar A em 10 unidades custaria aproximadamente 10\times0,6=6. Aumentar B em 10 unidades custaria aproximadamente 10\times1,6=16. Assim o aumento em A provoca menor acréscimo de custo.

Passo 7

Recapitulando em linguagem de amigo: a conta do mês deu C=7000. As derivadas parciais (as “taxas marginais”) mostraram que cada unidade extra de A custa bem menos que cada unidade extra de B naquele ponto, então se quiser crescer a produção sem estourar o custo, aumenta A primeiro — é o caminho mais barato no entorno imediato.

Resposta

(a) C(3000,2000)=7000.
(b) \displaystyle \frac{\partial C}{\partial x}(3000,2000)=0,6\quad\text{e}\quad \displaystyle \frac{\partial C}{\partial y}(3000,2000)=1,6.
(c) Aumentar a produção de A mantendo B constante, pois \displaystyle \frac{\partial C}{\partial x}<\frac{\partial C}{\partial y} naquele ponto (logo o custo marginal de A é menor).

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