Uma fábrica produz NaOH a partir de uma solução aquosa, contendo 10 \% de NaOH e 10 \% de NaCl , que alimenta continuamente, com a vazão mássica de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} em um evaporador, onde parte da água é removida da solução. Durante o processo, parte do NaCl se cristaliza. Se a solução final contiver 50 \% de NaOH e 1 \% de NaCl , calcule:
a) A vazão mássica de água evaporada.
b) A vazão mássica de NaCl cristalizado.
c) A vazão mássica da solução final.

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação contínua ao evaporador e pede três coisas. Vou listar claramente os dados e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados do problema:
  • Vazão mássica da alimentação: \;100\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição da alimentação: \;10\% de NaOH, \;10\% de NaCl e, portanto, \;80\% de água.
    • Logo massas na alimentação:
      \;m_{\text{NaOH,in}} = 0{,}10 \times 100 = 10\\ \mathrm{kg/h}.
      \;m_{\text{NaCl,in}} = 0{,}10 \times 100 = 10\\ \mathrm{kg/h}.
      \;m_{\text{H2O,in}} = 0{,}80 \times 100 = 80\\ \mathrm{kg/h}.
  • No evaporador: parte da água é removida (como vapor) e parte do NaCl se cristaliza (sai como sólido). Não há reação química com perda de NaOH, então assumimos que todo o NaOH fica na solução final.
  • Composição da solução final (líquida): \;50\% de NaOH, \;1\% de NaCl e \;49\% de água.
O que o enunciado pede:
a) A vazão mássica de água evaporada (vapor) — chamar de E.
b) A vazão mássica de NaCl cristalizado (sólido extraído) — chamar de C.
c) A vazão mássica da solução final (líquida) — chamar de F.

Passo 2

Princípios que vamos usar (explicação didática):
  • Conservação de massa total: a massa que entra deve ser igual à soma das massas que saem (solução final + vapor evaporado + sólidos cristalizados), porque não há perda mássica além desses fluxos.
  • Conservação de massa para cada componente químico (NaOH, NaCl, água): cada espécie tem sua própria balança. Se uma espécie não é removida por evaporação nem por cristalização, a massa permanece na solução; se é removida, devemos contabilizar isso.
Definimos incógnitas:
  • F: vazão mássica da solução final (kg/h).
  • E: vazão mássica de água evaporada (kg/h).
  • C: vazão mássica de NaCl cristalizado (kg/h).
Observações físicas simples e usadas aqui:
  • Evaporação retira basicamente água; suposição padrão: o vapor é praticamente água pura. (Se o enunciado não disser o contrário, essa é a hipótese usual.)
  • O NaCl que cristaliza sai como sólido independente da corrente líquida final.

Passo 3

Escrevendo as equações de balanço componente a componente.
Balanço de NaOH:
  • NaOH não evapora nem cristaliza (segundo nosso entendimento do enunciado), então toda a NaOH de entrada fica na solução final.
  • Massa de NaOH na entrada: \;10\\ \mathrm{kg/h}.
  • Na solução final, a fração mássica de NaOH é \;50\%. Portanto:
\text{NaOH:}\quad 10 = 0{,}50 \times F.
Balanço de NaCl:
  • Entrada: \;10\\ \mathrm{kg/h}.
  • Parte fica na solução final, parte cristaliza. Na solução final a fração mássica de NaCl é \;1\%, então massa de NaCl na solução final é \;0{,}01 \times F.
  • Assim:
\text{NaCl:}\quad 10 = 0{,}01 \times F + C.
Balanço de água:
  • Entrada: \;80\\ \mathrm{kg/h}.
  • Na solução final a fração mássica de água é \;49\%, então massa de água na solução final é \;0{,}49 \times F.
  • A água que deixa o sistema é justamente a evaporada E.
  • Portanto:
\text{H}_2\text{O:}\quad 80 = 0{,}49 \times F + E.
Também poderíamos usar o balanço total de massa (checar consistência):
100 = F + E + C.
Mas este é redundante se os três balanços componentes forem satisfeitos — serviria como verificação.

Passo 4

Resolver primeiro a equação mais simples: balanço de NaOH para obter F.
A equação de NaOH era:
10 = 0{,}50 \times F.
Isolando F:
F = \frac{10}{0{,}50}.
Calculemos passo a passo (sem pular etapas):
  • Dividir por 0{,}50 é o mesmo que multiplicar por 2.
  • Então:
F = 10 \times 2 = 20.
Logo:
F = 20\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário pedagógico: isso faz sentido intuitivo — para ter 10\\ \mathrm{kg/h} de NaOH representando 50\% da solução final, a solução final tem que pesar 20\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Com F encontrado, calculamos a massa de NaCl que ficou na solução final e, a partir disso, o NaCl cristalizado C.
Massa de NaCl na solução final:
m_{\text{NaCl,final}} = 0{,}01 \times F = 0{,}01 \times 20.
Passo a passo:
m_{\text{NaCl,final}} = 0{,}20\\ \mathrm{kg/h}.
Então o NaCl cristalizado é a diferença entre entrada e o que ficou na solução:
C = 10 - 0{,}20 = 9{,}80\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação: dos 10\\ \mathrm{kg/h} de NaCl que entraram, apenas 0{,}20\\ \mathrm{kg/h} permanece dissolvido na solução final; o restante cristalizou e foi removido.

Passo 6

Agora calculamos a água evaporada E usando o balanço de água.
A equação de água era:
80 = 0{,}49 \times F + E.
Substituindo F = 20:
80 = 0{,}49 \times 20 + E.
Calcule 0{,}49 \times 20 passo a passo:
  • 0{,}49 \times 20 = 9{,}8.
    Então:
80 = 9{,}8 + E.
Isolando E:
E = 80 - 9{,}8 = 70{,}2\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: a maior parte da água de entrada ( 80\\ \mathrm{kg/h}) foi removida por evaporação, sobrando 9{,}8\\ \mathrm{kg/h} de água na solução final.

Passo 7

Verificação rápida com balanço total de massa para garantir consistência.
Total que sai = solução final F + vapor E + cristal C:
F + E + C = 20 + 70{,}2 + 9{,}8 = 100\\ \mathrm{kg/h},
que é exatamente a alimentação. Tudo está consistente.

Passo 8

Resumo final dos números com interpretação curta (pra te dar confiança):
  • A solução final é leve: apenas \;20\\ \mathrm{kg/h} porque seu teor de NaOH é alto ( 50\%) e a alimentação tinha só 10\\ \mathrm{kg/h} de NaOH.
  • Quase todo o NaCl entrou em forma sólida: 9{,}8\\ \mathrm{kg/h} cristalizado.
  • A maior parte da água evaporou: 70{,}2\\ \mathrm{kg/h}.

Resposta

\;E = 70{,}2\\ \mathrm{kg/h} (água evaporada)
\;C = 9{,}8\\ \mathrm{kg/h} (NaCl cristalizado)
\;F = 20\\ \mathrm{kg/h} (solução final)

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